博弈论

posted on 2024-05-29 13:18:51 | under | source

upd on 2026：入门级博客，内容相当浅显。

图游戏

OI 遇到的博弈论几乎都是公平组合游戏，给出将其转化为有向无环图的方式：将局面视作点，让当前局面向下一个可能局面连有向边。

注意，一个点实际指在对应局面下开始操作，也就是说若将先取完视作胜利的话，那么 \(0\) 号点应当是必败态：对手已经取完了。

那么便能暴力地递推得到每个点是必胜还是必败态了。

SG 函数

但是暴力终究是暴力，进一步地研究需要更好的工具：SG 函数。

简称 \(sg(x)\)，递推地给出定义：\(sg(x)=\rm mex(sg(y)),y\in x\)。

它具有许多良好性质。最 simple 的，实现递推功能：以无法操作为败举例，令 \(sg(\empty)=0\)，那么 \(x\) 必胜当且仅当 \(sg(x)>0\)。

证明：称 \(sg(x)=0\) 为必败态，反之为必胜态。那么若 \(sg(x)=0\)，则意味着 \(\forall sg(y)>0\)，即对手必然处于必胜态；反之，则 \(\exist sg(y)=0\)，即可以通过选择使得对手处于必败态。从 \(\empty\) 开始反向递推，那么可得知“必胜态”必胜，“必败态”必败。

SG 定理

若一个游戏由多个不相干子游戏构成，那么该游戏的 \(sg\) 值为所有子游戏 \(a_1\dots a_n\) 的异或和 \(sg(a_1)\bigoplus sg(a_2)\bigoplus\dots sg(a_n)\)。该游戏必胜当且仅当 \(sg\) 值不为 \(0\)。

证明：称 \(sg=0\) 为必败态，反之是必胜态。

1. 必胜态可以转移至必败态：考虑选择子游戏 \(a_k\)，其余的异或和为 \(H\)，可以证明必然存在 \(k\) 使得 \(sg(a_k)\ge H\)，那么让 \(sg(a_k)=H\)，就好啦。由于子游戏 \(sg\) 值满足 \(sg(1\dots m)\) 的取值为一段连续区间 \([0,r]\)，所以肯定可以这样调整。这不难归纳得出，因为每次 \(sg\) 值至多 \(+1\)。

2. 必败态一定转移至必胜态：证明不存在 \(y\in x,sg(x)=sg(y)\) 即可。这很显然。

综上，一定在必败态和必胜态之间来回跳动。又因为终止局面 \(\forall a_i=\empty\) 时是必败的，所以必败态必败、必胜态必胜。

nim 游戏

注意，先取完胜利。

由多个不设限的巴什游戏组成。注意到此情况下，\(sg(x)=x\)，所以 \(sg=a_1\bigoplus a_2\bigoplus\dots a_n\)。

阶梯 nim

有一个阶梯，每个阶梯 \(i\) 放有 \(a_i\) 个石子。轮流操作，一次操作可以选择一堆至少 \(1\) 个石子，拿出来放到下一级台阶 \(i-1\)，台阶 \(0\) 不可再向下。先取完胜。

结论：\(sg=a_1\bigoplus a_3\bigoplus a_5\dots\)。

即只关注下标奇数的石子堆，做 nim 游戏。为啥呢？假如我是先手必胜，那么按照奇数堆 nim 游戏的必胜策略操作。若对手也操作奇数堆，便没有影响；若是偶数堆 \(2k\)，那么我紧接着让 \(2k-1\) 堆也下移相同数量的石子。所以偶数堆的影响被消去了。