wqs二分

posted on 2024-06-02 13:34:04 | under | source

简介

wqs（王钦石）二分是一种化恰好为无限制的巧妙算法。

考虑一种 01 背包问题：有 \(n\) 个物品，选其中 \(m\) 个，求价值的最值？以最大值为例。

这里的“物品”是广义的，考虑朴素 \(\rm dp\)？受限于状态数过多，复杂度至少 \(O(n^2)\)。

wqs 二分运用数形结合分析并简化问题。前提条件：将 \((i,g_i)\) 看成点，在平面直角坐标系上构成上凸包（斜率单调递减）。

其中，\(g_i\) 表示选恰好 \(i\) 个的最大值。求出 \(g_m\) 即可。

我们枚举斜率 \(k\)，令一条斜率为 \(k\) 的直线从上往下扫，扫到凸包第一个点 \(p\)。此时若 \(p\le m\)，那么必须让斜率 \(\ge k\) 才能扫到 \(m\)；反之斜率 \(<k\)。显然可以二分。

现在的问题是，怎么求出 \((p,g_p)\) 呢？

考虑 \(f_i\) 表示直线扫到 \(i\) 时对应截距，即 \(f_i=g_i-ki\)。

那么必然 \(f_p=\max f\)，所以问题转化为求 \(\max f\)。

不妨让所有物品的价值 \(-k\)，然后不受限地取就好啦。

共线

注意一个大坑点：凸包上共线的情况。

如果不加以处理，就容易忽略掉正确答案。

具体需要看最后答案输出的是 \(l\) 还是 \(r\)，这根据 \(=\) 号取在哪决定。

以输出 \(r\)、上凸包为例，可以每次取得最左端，使得 \(m\) 无论位于共线上哪处时，都可以有 \(r=mid\)。

最重要还是因题而异吧。

题目

• P5633 最小度限制生成树

设计 \(g_i\) 表示 \(s\) 点连了 \(i\) 条边时的 MST 权值。那么 \(g_i\) 构成下凸包。

证明考虑其 MST，不妨设为 \(g_p\)，那么选取一条不属于 MST 且与 \(s\) 相连的边，在最小生成树上构成环，类似次小生成树替换得到新的 MST，那么增长值最小的方案就是 \(g_{p+1}\) 了。

显然，改变替换边的顺序不会影响得到的 MST 权值，所以随着 \(p\) 增长，\(g\) 的变化值递增。对于 \(p\) 递减同理。所以是个下凸包。

套 wqs 二分即可，check 部分是容易的。

注意判合法性，注意到下凸包一定是连续的，用斜率为 \(-inf,inf\) 的直线扫出下凸包的左右边界，若 \(k\) 在边界外就是非法的。

• P1484 种树

考虑最大价值 \(g_p\)，将贡献记为 \(0101...\) 的形式。

移动 \(p\)，那么必然是将一段连续子串反转，如：\(101\to 010\)。对于所有合法调整，价值必然小于原价值。

考虑 \(g_{p+1},g_{p+2}\)，若调整区间不重合，则一定有 \(g_{p}-g_{p+1}\ge g_{p+1}-g_{p+2}\)。否则，重合区间等价于撤销调整，即分别操作 \([l,r]\)、\([x,y]\)，等于操作 \([l,x-1]\)、\([r+1,y]\)，\(g_{p+1}-g_{p+2}=val[x,y]\)，显然 \(val[x,y]\le val[l,r]\)。

斜率递减，构成上凸包。

• P4694 [PA2013] Raper

显然，新增元素对的顺序无影响，那么必然 \(g_i\) 构成下凸包。

考虑怎么求 \(\max f\)，先让 \(a_i-slope\)，无限制地选取即可。

注意到 \(1\le a,b\)，那么只考虑减去 \(slope\) 后为负数的 \(a\) 即可。

我们只关注选取了那些 \(a,b\)，而不关心如何配对。所以等价于选取 \(a_{p_1}\dots a_{p_m}\) 和 \(b_{q_1}\dots b_{q_m}\)，且 \(\forall p_i\le q_i\)。

从后往前，依次为 \(a\) 配对，贪心地选取最小的 \(b\) 即可，用一个小根堆维护就好了。

注意可以让当前的 \(a\) 替换掉之前的 \(a\)，怎么实现？只需将 \(-a\) 加入堆即可。

• P4383 [八省联考 2018] 林克卡特树

和 lsy 讨论一会儿得出来的。

首先，显然 \(g_i\) 构成上凸包，因为顺序无影响。

那么考虑 \(f_i\) 的实际含义，等价于更改 \(i\) 条边，代价为 \(-i*slope\)，然后求直径。

因为删去边会得到森林，最优连边方案显然是将所有树的直径首尾相连。

没必要非得看作森林，关注直径就好了。于是 \(f_i\) 实际上是在原树选 \(i+1\) 条不相交的链，边权和减去 \(i*slope\)。

不妨选一条链就 \(-slope\)，最后再加上 \(slope\)。

然后容易树形 \(\rm dp\)，记 \(f_{u,0/1/2}\) 表示对于 \(u\) 子树，\(u\) 未被选、往下延申一条链和随意的最大价值。

为了方便实现，不妨将链只有 \(u\) 一个点的方案也算进 \(f_{u,1}\) 中。转移是容易的。