st 表的学习总结

posted on 2023-05-10 05:38:53 | under 笔记 | source

基础概念

需以 \(O(nlogn)\) 的时间复杂度构造 st 表。

可以用 \(O(1)\) 的时间复杂度，查询区间最大、最小值。但广义地说，满足结合律即可，如 \(gcd\)、异或等。

但 \(st\) 表是静态的，难以再修改。

st 表 vs 线段树

\(st\) 表的优势是：代码量短、实现容易，查询时间较短。

线段树的优势是：可以动态修改。

实现

首先，\(st\) 表是用动态规划实现的，用到了倍增的思想。

定义 \(st[i][j]\) 表示：一段以 \(i\) 为起点，长度为 \(2^j\) 的区间的最值。

容易推出转移方程：\(st[i][j]=max(st[i][j-1],st[i+2^{j-1}][j-1])\) 。

怎么查询？不妨设 \(len=log2(r-l+1)\)，向下取整，用两段长为 \(len\) 区间覆盖即可：\(max(st[l][len],st[r-2^{len}+1][len])\)。

代码

模板题

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,a[100005],d[100005],l,r,len,f[100005][30];
void st()
{
    for(int j=0; j<=25;j++)
     for(int i=1; i+(1<<j)-1<=n;i++)
     {
         if(j==0) f[i][j]=a[i];
         else f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<j-1)][j-1]);
     }
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1; i<=n;i++) 
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		if(i>=2) d[i]=d[i>>1]+1;
	}
    st();
    for(int i=1; i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&l,&r);
        len=d[r-l+1];
        printf("%d\n",max(f[l][len],f[r-(1<<len)+1][len]));
    }
    return 0;
}

几道好题

P1198 [JSOI2008] 最大数

链接

一开始看到：这不是单调队列模板吗？

后来由空线段树的思想，联想到边读边建表，过了。

P7244 章节划分

链接

很好的一道题。

首先想到：答案一定是最大数的因子。

于是可以对最大数进行分解质因数，枚举每个因子：把它作为答案是否可行？就转化为了判定问题。

可求出在满足条件的情况下，区间最多被分为几段。因为，假如最多分为 \(k\) 段，那么可以把其中两段合在一起，变为 \(k-1\) 段，还是满足条件，以此类推。

下面给出一种巧妙的递归写法：

要求 \((l,r)\) 这段区间至多可被为多少段，不妨设 \(ma\) 为区间最大值。

那么可分为两种情况：

1. \(ma\) 整除答案，那为了使段数最多，不妨把 \(ma\) 独立出来，则：\((l,r)=(l,ma-1)+(ma+1,r)+1\) 。

2. 不整除，考虑把 \(ma\) 纳入它上面一级的区间，因为上一级一定满足条件。因此：若 \(l>1\)，不用考虑 \(l\) 到 \(ma\) 这段区间 （\(l<1\) 的话没法覆盖住 \(ma\)）。若 \(r<n\)，同理。

P7009 [CERC2013] Magical GCD

链接

显而易见，\(st\) 表可求出区间 \(gcd\) 的值。

上手枚举下 \(gcd\) 的值，可发现：一段区间，左端点固定，\(gcd\) 的值随着右端点右移而单调不增。

由于题目时限为 \(8s\)，很容易想出一种暴枚的做法。

固定区间左端点，用二分求出 \(gcd\) 值相等时，右端点最远在哪，然后统计最大值即可。

P2048 [NOI2010] 超级钢琴

链接

题目要求 \(k\) 段序列最大值，贪心地想，就是求 \(k\) 次最大值。

那不妨固定住区间左端点 \(i\)，对于每个 \(1≤i≤n\)，都能找到使该区间和最大的 \(j\)，把它们存入堆。我用的是优先队列 + 重载运算符的做法，因为相对简单。

然后要用到前缀和，每个区间可表示为 \(s[j]-s[i]\) 的形式，既然要求最大且已知 \(s[i]\) 的值，那么只需找到最大的 \(s[j]\)，可以用 \(st\) 表预处理。

接着循环 \(k\) 次，每次取最大的区间，把它拆分为次小区间（最多 \(2\) 个），因为之后可能取到它们。

那么如何拆分？设 \(l\)、\(r\) 分别最大区间左右端点，我们已知 \(ma\) 的值，使得 \(s[ma]-s[i]\) 的值最大，因此次大 \(m_1\) 一定在 \(l\) 到 \(ma-1\) 之间；当然，前提是 \(l<ma\)。\(m_2\) 同理。