P9124 [USACO23FEB] Bakery S 题解 _ 面包店 _ 推一推不等式

posted on 2023-04-20 05:45:41 | under 题集 | source

题目简介

有 \(n\) 个人来买两种东西，要使 $ a_i \times t_c +b_i \times t_m \leq c_i $，你可用一块钱减少 \(t_c\) 或 \(t_m\) 一个单位时间，但不能减到零。

求最少要花费多少钱，才能使上式成立。

思路

假设操作后，\(tc\) 减去 \(x\)，\(tm\) 减去 \(y\)，答案就是 \(x+y\)。

很容易想到二分，那么二分什么呢？

二分 \(x\)（或 \(y\)）吗？不对，不具有单调性，因为还可以调整 \(y\)。可能把 \(x\) 调大点，\(y\) 调小点，说不定更优？

但 \(x+y\) 一定具有单调性，显而易见。于是问题变为了检验正确性。

怎么检验啊？设 \(mid = x+y\)，推下不等式呗。

$ a \times (t_c-x)+b \times [t_m-(mid-x)]≤c $。

拆括号得：

$ a \times t_c-a \times x+b \times t_m-b \times mid+b \times x≤c $。

下一步怎么搞？不妨试试：移项把 \(a\) 和 \(b\) 凑在一起。

$ b \times x-a \times x≤c-a \times t_c-b \times t_m+b \times mid $。

即：

$ (b-a) \times x≤c-a \times t_c-b \times t_m+b \times mid $。

为了方便，设：

$ k = c-a \times t_c-b \times t_m+ b \times mid $。

于是就能对 \(a-b\) 的取值分类讨论啦。

• 若 \(a-b>0\)：原式不变，\(x \leq \frac{k}{a-b}\)，向下取值（ floor ）。
• 若 \(a-b=0\)：若\(k<0\)，则无解。
• 若 \(a-b<0\)：变号即可，\(x ≥ \frac{k}{a-b}\)，向上取值（ ceil ）。

最终会得到一大堆与 \(x\) 有关的大小关系式，判断是否有解即可。

关于上下界：

设 \(mi \leq x \leq ma\)。

• 对于 \(mi\)：可以一个不减。但如果另一个数没法再减了，则必须要减它了，另一个数可以减去 \(y-1\) 次，因此取 \(0\) 和 \(mid-t_m+1\) 的最大值。
• 对于 \(ma\)：至多把 \(t_c\) 减到 \(1\)，不过 \(mid\) 得够大，因此取 $ t_c-1$ 和 \(mid\) 的最小值。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long t,n,mid,tic,tim,a[105],b[105],c[105],l,r;
long long dan()
{
	long long mi,ma;
	ma=min(tic-1,mid);
	mi=max((long long)(0),mid-tim+1);  
	for(long long i=1; i<=n;i++)
	{
		long long k=c[i]-a[i]*tic-b[i]*tim+b[i]*mid;
		if(a[i]==b[i]&&k<0) return 0; 
		if(b[i]-a[i]>0) ma=min(ma,(long long)floor(k*1.0/(b[i]-a[i])));
		if(b[i]-a[i]<0) mi=max(mi,(long long)ceil(k*1.0/(b[i]-a[i]))); 
	}
	return mi<=ma;
}
int main()
{
	cin>>t;
	while(t--)
	{
    	scanf("%lld%lld%lld",&n,&tic,&tim);
    	for(long long i=1; i<=n;i++)
    	{
    		scanf("%ld%lld%lld",&a[i],&b[i],&c[i]);
		}
		l=-1,r=tic+tim-1;
		while(l+1<r)
		{
			mid=(l+r)/2;
			if(dan()) r=mid;
			else l=mid; 
		}
		cout<<r<<endl;
	}
    return 0;
}