noip2024总结

posted on 2024-12-05 09:03:10 | under | source

战况

考前重感冒，状态很差。考的依托，差点被前两题恶心，然后做 T3, 很快搞出部分分，以为稳了，结果换了好几个思路都发现会算重，然后越来越浮躁，花了 1~2h 没有一点进展。 崩溃了随便敲了点 T4 部分分走了。

假如考试时脑袋再清醒点，是不是就能切 T3 改命了？假如在死磕前理智地去博 T4 高额部分分，是不是结果会更好？

实际分数： 248. （这尼玛还挂了）

题解

T1

简单贪心题，能交换得到贡献就交换，不行就留到之后处理，然后变成模拟题了。

T2

简单计数题，然鹅考试时被唬住了卡了一小会。

考虑判定，注意到可以选择和 \(a_i\) 不同的数这样直接废掉限制。 唯一的问题是假如 \(a_{c_i}=d_i\) 就无法这样构造。

显然可以按照相邻的 \(c\) 将序列分段，每段互相独立，一个段的不合法方案易算，然后就没了。

T3

不错的计数题，部分分设置非常有启发意义。

考后听 larsr 说是容斥顿悟会了做法，也许考场再想想 \(k=2\) 就能做出来，可惜没有也许。

很自然地，将边视为点，让相邻的边连边，然后就得到若干团构成的树，团与团之间以点 (原树的边) 相连。 为了方便，定一叶子为根建树。

• \(k=1\)： 思考以 \(x\) 为起点对树的形态的限制。 肯定不能按照题意傻傻地跑深搜，手玩一下发现等价于给每个团一个起点，然后团内连边形如该起点出发一条经过所有点的链，团与团互相独立。 显然答案就是 \(\prod (|S_i|-1)!\)，\(S_i\) 为一个团。

• 菊花： 思考一个团不同起点的链何时会重复。 可以发现 \(k=1\) 中的链实际上是一条有向链，然而要求的是无向链。 那么显然一条无向链会在它的两端点为起点时被计算，容易容斥计算答案。

止步于此。 看到部分分设置中有许多关于 \(k\) 的限制，自然从此入手。

• \(k=2\)： 思考以 \(x,y\) 为起点的方案何时重复。 对于一个团，\(x,y\) 会给予两个起点 (可能重合)，可按照菊花的方法计算重复的方案，也就是 \((|S|-2)!\)。 那么容斥即可。

• \(k\le 8\)： 考虑推广 \(k=2\) 容斥做法，枚举钦定哪些起点的方案相同，按照 \(k=2\) 的方法计算即可。 注意某个团假如有 \(>2\) 个起点则不存在方案。

• 正解： 水到渠成地得出正解。 无需枚举集合，可以树形 dp. 具体而言，记 \(h_u\) 表示 \(u\) 为根的子树内，所有团起点均为顶点的方案。 \(f_u,g_u\) 表示 \(u\) 子树内至少有一点被钦定，且子树外是否钦定点时的方案数，顺便算上容斥系数。

• 枚举 \(u\) 是否钦定，以及在哪些儿子子树里钦定了点，则选取的儿子子树个数至多 \(2\) 个。 大力转移即可。 对于钦定两个儿子的转移 (显然此时 \(u\) 不能被钦定)，直接搞是平方的，显然可以分离变量然后快速计算。

• 复杂度 \(O(n\log V)\)，也就是逆元的复杂度。

T4

学虚树应该知道，有经典结论： \(\rm dep_{LCA(l\dots r)}\) 等价于 \(\min\limits_{i=l}^{r-1}\rm dep_{LCA(i,i+1)}\)。

记 \(v_i=\rm dep_{LCA(i,i+1)}\)，先单调栈跑出每个 \(v_i\) 的统治范围 \([l_i,r_i]\)，满足 \(\forall j\in [l_i,r_i],v_j\ge v_i\)。

问题转述为： 对询问区间 \([L,R]\) 里的每个 \(i\)，若 \([l_i,r_i]\) 与 \([L,R]\) 的交的大小 \(\ge k\) 则是合法的，求 \(v\) 最大的合法点。

还是不好做，考虑放宽限制。 实际上无需限定 \(i\) 在区间内，因为假如一个询问区间外的 \([l,r]\) 满足交集 \(\ge k\)，(不妨令 \(l<L\))，则必然存在 \(p\in [L,r]\) 满足 \(p\) 的统治区间与 \([L,R]\) 的交 \(\ge k\)。 证明不难，每次抽出区间中除了当前点外的最大点，假如落在 \([L,R]\) 就可以，否则选一个进行归纳证明即可。

现在简单了。 先转化交集 \(\ge k\) 的条件，根据 \(r\) 与 \(R\) 的关系可以拆出两个式子：

• \(R<r\)： \(l\le R-k+1\)。

• \(L+k-1\le R\le r\)： \(r-l+1\ge k\)。

离线下来对一维扫描线，另一维线段树即可。 复杂度 \(O((n+q)\log n)\)。