杜教筛、Min25筛

posted on 2025-09-22 13:44:08 | under | source

杜教筛

欲求 \(Sf(n)=\sum\limits_{i=1}^{n} f(i)\)，构造 \(f\times g=h\)，那么 \(\sum h=\sum\limits_{ij\le n} f(i)g(j)\)，进而得到杜教筛核心式子：

\[g(1)Sf(n)=Sh(n)-\sum\limits_{i=2}^{n}g(i)Sf(\frac {n}i) \]

便能整除分块递归下去，所以还顺带做了块筛。

直接做是 \(O(n^{\frac 34})\)，顺带一提，不用记忆化。可以线性筛预处理 \(\le n^{\frac 23}\) 的，这样便是 \(O(\frac 23)\)。

限制：积性函数 \(g,h\) 需要足够简洁，以快速求出前缀和。

Min_25 筛

欲求 \(f\) 前缀和，构造一个在质数处与之相同的完全积性函数 \(g\)。

大致思想：将 \(f\) 分质数合数讨论，合数可递推，质数可用 \(g\) 计算。而递推的状态设计基于最小的质数 \(p\)，这样的好处是：特判掉质数的情况，那么有用的 \(p\le \sqrt n\)。

记号：\(mi(x)\) 为 \(x\) 的最小质因子，\(p_i\) 为从小到大第 \(i\) 个质数，\(P\) 为 \(\le \sqrt n\) 的质数集合。

注意下面的 \(G,F\) 都不包含 \(1\)。

处理 g

记 \(G(n,j)=\sum\limits_{i} g(i)(i\in {\rm P}\mid mi(i)>p_j)\)，欲求 \(G(n,|P|)\)，初值 \(G(n,0)=\sum g\)。

考虑从 \(G(n,j-1)\) 推到 \(G(n,j)\)，减去 \(mi(x)=p_j\) 的即可：

\[G(n,j)=G(n,j-1)-g(p_j)\times(G(\frac n{p_j},j-1)-\sum\limits_{k=1}^{j-1}g({p_k})) \]

处理 f

记 \(F(n,j)=\sum\limits_{i} f(i)(mi(i)>p_j)\)。

• 质数：\(G(n,|P|)-\sum\limits_{k=1}^{j} f(k)\)。
• 合数，枚举最小质因子及次数：\(\sum\limits_{k>j}\sum\limits_{e=1}^{{p_k}^e\le n} f({p_k}^e)\times (F(\frac n{{p_k}^e},k)+[e>1])\)。

\([e>1]\) 是因为 \({p_k}^e\) 在 \(e>1\) 时应被算入。

复杂度 & 小技巧

根据神秘分析，求 \(F\) 无需记忆化，\(O(\frac {n^{\frac 34}}{\log n})\)。

而 \(G\) 需要记忆化，注意到每次递归会除一个数，而 \(\frac {\frac na}b=\frac {n}{ab}\)。于是只用处理 \(\frac nk\) 的值（都是下取整），根号级别。

技巧：\(x\le \sqrt n\) 用 \(id1(x)\) 记录，\(x>\sqrt n\) 用 \(id2({\frac nx})\) 记录。