lby学长の二分图

posted on 2024-07-15 03:27:03 | under | source

理论

最大匹配：匈牙利算法

本质就是不断找增广路，复杂度 \(O(n^3)\)。

最小点覆盖

有定理：最小点覆盖 = 最大匹配。

如何证明？显然最大匹配 <= 最小点覆盖，因为你必须要覆盖所有匹配边，而这些边没有共同顶点，也就是无法被一个点同时覆盖。

然后可以构造出一种点覆盖 = 最大匹配的情况。具体而言，对于右部点，遍历以其为起点的所有增广路，然后标记左部被访问的和右部未被访问的点。恰好将所有匹配边一端标记，所以 = 最大匹配。

关于为何能覆盖所有边的简要证明：称被选为点覆盖为“标记”。先将匹配边的右部点设标记，然后从右部点开始找一条失败的增广路，将右部点上的标记移到增广路上对应左部点，则覆盖的边增加了。重复该过程则所有边被覆盖，过程中标记点数恒为最大匹配。

最大独立集

有定理：最大独立集 = n - 最小点覆盖。因为独立集之间互相无边，它们的补集必然覆盖所有边，即点覆盖。

重要：Hall 定理

考虑这样一个问题：在二分图中，是否存在一种匹配，使得左部点均为匹配点。即完美匹配问题。

显然这必然是最大匹配，所以我们跑一遍匈牙利算法？肯定超时，于是引出 Hall 定理。

Hall 定理：若对于二分图左部任意点集 \(S\)，右部与其相连的点集 \(T\)，都有 \(|S|\ge |T|\)，那么存在完美匹配（充要条件）。

必要性：若不满足条件，那么对 \(S\) 而言相邻的右部点不足 \(|S|\) 个，必然不会有完美匹配。

充分性：若满足条件，假设不存在完美匹配。先找最大匹配，然后对于左部非匹配点 \(s\)，我们对它使用 Hall 定理，必然有右部点 \(t\) 与 \(s\) 相连。若 \(t\) 是非匹配点，就得到增广路 \(s\to t\) 所以矛盾；反之，考虑 \(t\) 的匹配点 \(s_2\)，那么对 \(\{ s,s_2\}\) 使用 Hall 定理，必然有 \(t_2\) 存在。以此类推，因为点有限，所以一定会找到一条增广路，与这是最大匹配矛盾，证毕。

Hall 定理推论

最大匹配为 \(|A|-\max(|S_i|-|T_i|)\)，\(A\) 为左部点集，\(S_i\in A\)，\(T_i\) 为 \(S_i\) 相邻右部点。

例题

非常好题目，使我的___旋转。

• P1129 [ZJOI2007] 矩阵游戏

对于点 \((x,y)\)，不妨视为一条连接行 \(x\) 和列 \(y\) 的边。那么就得到了一张二分图。

对于交换行，等价于交换二分图同一部的两点的编号。交换列同理。

考虑原图的最大匹配，由于交换操作并不会改变二分图的形态，所以一定可以通过若干次操作，使得所有行 \(i\) 与列 \(i\) 匹配。

所以有解当且仅当原图最大匹配为 \(n\)。

• CF981F Round Marriage

^_。

• AT_arc106_e [ARC106E] Medals

^o。

• CF1009G Allowed Letters

和上一题基本一毛一样。按字典序贪心地填字符，那么就变成了一个判定问题。

从二分图的“限制要求”这一部出发不好搞，所以我们看“字符”这一部。

容易发现相同字符是等价的，所以贪心地全选，接着用 sosdp 处理出另一部的相连节点数量就可。

• AT_arc080_d [ARC080F] Prime Flip

qwq。

• LOJ6062 Pair

poq。