GJOI noip_csp训练赛5

posted on 2025-09-15 14:03:44 | under | source

B. P12576 [UOI 2021] 数字图

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先二分答案 \(mid\)，将 \(< mid\) 记为 \(0\)、否则 \(1\)。若当前先手是 \(A\)，假如当前位置是 \(1\) 就直接结束，否则必须移动一步到相邻的 \(1\) 上，动不了也是输。

因此特判掉初始为 \(1\) 的，那么只保留两端分别是 \(0,1\) 的边，可以将博弈改写为：轮流移动动不了就输。但是本题还有一个步数限制，因为 \(2\mid 10^{100}\) 所以一直动的话先手还是输。

考虑处理转移成环的 dp。对于出度为 \(0\) 的点确定为必输态，同时连向它的点也确定为必胜态，于是每一轮类似拓扑排序去掉确定胜负的点即可。

若最终还有点，那么它们连向外界的必然是必胜态，于是只能在内部兜圈，根据先前讨论，此时 \(A\) 必败。

C. P11986 [JOIST 2025] 救护车 / Ambulance

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考虑弱化原问题求两个点的情况，发现对角两个点有较好的性质，因为点到对角的距离之和固定。于是有简单贪心，按照到其中一个的距离排序，那么必然是一个前缀扔给这个点、后缀给另一个点。

那么分别按照两个对角排序得到两个序列。枚举前后缀分界线，那么所有点按照在两边序列里为前缀还是后缀，可分为 \(4\) 组。考虑枚举其中一组分配给一边的大小，那么肯定希望剩下给另一边的尽量小。于是对每一组做背包，便能枚举一组分配给一边的大小、进而推出其它组的选择并判定合法性。

前后缀 dp 一下就能做到 \(O(n^2T)\)。

总结：适当弱化问题可启发正解；最后判定合法性的处理很妙。

D. P11303 [NOISG 2021 Finals] Pond

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容易有二维 dp 但没有前途，考虑去掉状态中的一维。那么需要换个方式计算贡献，考虑 \(i>k\) 的贡献，先默认直接行走是 \(x_i-x_k\) 的，假如行走时从 \(p>k\) 拐向 \(j<k\) 再回来，那么恰会额外产生 \(2(x_p-x_j)\) 的代价。而 \(i<k\) 同理。

于是考虑对拐点做 dp，记为 \(f_i\)。按照上述讨论，有转移：

• \(i>k\)：\(f_i=\min\limits_{j\le k} (f_j+2(j-1)(x_i-x_j))\)。
• \(i<k\)：\(f_i=\min\limits_{j\ge k} (f_j+2(n-j)(x_j-x_i))\)。

考虑 dijsktra 每次取出最小的 \(f\)，注意到边权函数 \(w(i,j)\) 必然满足固定 \(i\) 时 \(j\) 越大值越大，固定 \(j\) 同理，因此不难归纳证明任意时刻取出的点构成一段区间 \([l,r]\)，每次拓展 \(l-1\) 或 \(r+1\)。这也说明了跑出的最短路不会出现非法形态。

转移的式子容易写成一次函数的形式，从而李超树优化，\(O(n\log n)\)，应该也能线性。

总结：二维状态（如区间 dp）通过重新计算贡献转一维状态（最短路），并由 dijsktra 分析最短路形态确保不会出现非法形态。