GJOI noip_csp训练赛4

posted on 2025-09-26 12:47:15 | under | source

A B

简单 dp、简单贪心。

C. P12546 [UOI 2025] Convex Array

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就是差分数组递增的形式，于是问题：将原序列拆分为两个不交的递增且增值递增的子序列。

先排个序，记 \(f_{i,a,b,c,d}\) 为考虑 \(1\dots i\) 的元素，两个子序列的末尾两位分别是 \((a,b),(c,d)\) 是否合法。

考虑一些优化，注意到 \(i,i-1\) 一定在序列中，同时次大值一定越大越好。止步于此

进一步还能考虑 \(i-2\) 的位置，将状态用四元组表示：

• \((i,i-1,a,b)\)
• \((i,i-2,i-1,a)\)
• \((i,a,i-1,i-2)\)

考虑如何转移到 \(f_{i+1}\)，后两种是 \(O(1)\) 的直接转移。对于第一种，分讨 \(i+1\) 放那个子序列：

• \((i,i-1)\to (i+1,i)\)：相当于直接继承数组。
• \((a,b)\to (i+1,a)\)：相当于转移到第三种情况，而这种情况只需取最大的 \(a\)，条件为 \(a_{i+1}\ge 2a-b\)，令 \(2a-b\) 为下标相当于求前缀最大的 \(a\)，而限制越来越松于是拿两个堆直接维护即可。

总结：详细分讨是必要的，一些难以下手优化的 dp 状态可从分讨入手。

D. P11516 [CCO 2024] Summer Driving

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判掉 \(A\le B\)，因为 Bob 可以直接撤销 Alice 的操作。

以 \(R\) 为根，祖先链都被走过，所以深度一定越来越深。考虑 Alice 走一步后 Bob 的决策：若是跳祖先后向下走，那么限制为祖先链被 Ban 了；若是停留在祖先链上，限制为祖先链以及一个儿子子树被 Ban 了。

分别记为 \(f_x,g_x\)，\(f_x\) 表示在 \(x\)，\(g_x\) 表示现在 \(fa_x\) 且 \(x\) 子树不能走。

按深度从大到小转移，每次暴力枚举 Alice 的决策看 Bob 最优能取到多少，均摊 \(O(n)\)。现在考虑 Bob，对于 \(g\) 就是链查询，对于 \(f\) 是扣掉祖先链的邻域查询，用点分树维护之。

具体来说：若分治中心不为其祖先，则不用管；否则，还要扣掉是分治中心祖先的点。那么每个分治中心开两棵线段树分别维护其祖先和非祖先即可。

\(O(n\log^2 n)\)。

总结：适当强化条件以增加性质、便于 dp；邻域查询考虑点分树，而一些拓展如扣掉祖先链，也可以通过对分治中心的分讨实现。