AGC做题记录

posted on 2025-11-06 13:53:19 | under | source

AGC073

AGC073A

画图手玩一下，发现每划一条弦实际上会让其与圆心相对的区域内的块颜色都取反，称这个区域为域，进而一个块是黑色的当且仅当其被奇数个域覆盖。

而一个块等价于若干个域的交，对于只由一个域构成的情况容易计算，每种方案中每个域恰贡献一个，为 \(n2^{n-1}\)。否则，考虑将构成的域按环上端点排序，枚举最左和最右的域，构成一个区间，对于区间外的域不参与该块的构成，否则违反最左最右；对于区间内的域必然与左右域都有交，必然参与该块构成。选奇数个数是经典问题，易得方案为 \(2^{n-3}\)，注意区间为空不可算入。

只需统计非相邻且相交的弦对数量即可，容易双指针。

总结：赛时做到第一步，但不会较好地刻画并统计黑色块；我们可以枚举组合对象的一些特征元素，从而加强性质便于计数。

AGC073B

将 \(a\) 排序，记答案为 \(f(a_1\dots a_n)\)，可能会出现相同元素但我们认为它们不同。\(a_1=a_2\) 特判掉，答案显然为 \(a_1\)。

关键结论：\(f(a_1\dots a_n)=a_1+f(a_1,a_2-a_1\dots a_n-a_1)\)。

证明如下：我们要证原问题等价于，将所有步长均减去最小值后，起点挪到 \(a_1\) 且不允许 \(x<a_1\)。

• 原问题到新问题：考虑拆分每一步，若步长不是 \(a_1\) 就拆成 \(a_1,a_i-a_1\)，可能会出现两个 \(a_1\) 相邻的情况直接抵消即可。那么如何对应到起点为 \(a_1\) 呢？对于第一步从 \(0\) 跳到 \(\ge a_1\)，拆的时候先跳 \(a_1\)，对于最后一步同理最后跳 \(a_1\)，即可完成对应。可能在中途从 \(\ge a_1\) 跳到 \(<a_1\)，但接下来必然跳回 \(\ge a_1\)，可以调整拆分顺序，抵消两个 \(a_1\) 便不再 \(<a_1\)。
• 新问题到原问题：同上，对于向左走，拆成 \(-a_i+a_1\)，向右为 \(-a_1+a_i\)，由于有 \(x\ge a_1\) 故不会越界。

利用递推式，可以一直减直到最小值变化，这样两次过后最小值必然折半，总轮数是 \(O(\log V)\) 的。

总结：构造题可以考虑归约。

AGC073C

枚举 \(x_i\) 为每个点所在最大权连通块，考虑计算该情况概率。不妨转为整数域的情况，只需令点权为 \([-(N-1)M,M]\) 并要求 \(x_i\in [0,M]\)，\(M\) 是极大数。

考察边 \((u,v)\) 两端最大权连通块 \(X,Y\) 的形态，先断开该边，记 \(U,V\) 为 \(u,v\) 为根子树的最大权连通块，若 \(U,V\ge 0\)，则存在最优解 \(X=Y=U+V\)。否则不可能两个都是负数，不失一般性地认为 \(val(U)<0,val(V)>0\)，那么 \(X=U+V,Y=V\)，且 \(val(X)<val(Y)\)。

因此，将树拆分为若干个极大的 \(x\) 相同的连通块，则同一个块内的元素对应的最大权连通块相同，相邻的块 \(x\) 较小的包含 \(x\) 较大的。

考虑按 \(x\) 从大到小依次给每个块填数，对于最大值块，其最大权连通块即为整个块，考虑将子连通块刻画为一个子树减去若干个子树，容易得到限制条件为每个子树权值均为 \([0,x_i]\)，考虑从上到下填数，这时你就发现这个诡异的值域限制的意义了，这样每个儿子子树权值和可以任选。

对于一般情况也是类似的，块内节点 \(u\) 连向块外节点 \(v\)（\(x_v>x_u\)）则 \(u\) 的最大权连通块会强行吃掉 \(v\) 的，视作连边 \(u\to v\)，那么分析同上。于是方案数为 \(\prod (x_i+1)^{|c_i|-1}\)。因此概率即为 \(\frac {\prod {y_i}^{|c_i|-1}}{n^{n}}\)，\(n^n\) 可以最后除，那么简单积分推导一下，可知一个连通块权值应为 \(\frac 1{2c}\)。然后简单树上背包即可。\(O(n^2)\)。

总结：先枚举 \(x\) 并分析一条边 \((u,v)\) 两端 \(x\) 相对大小与其最大权连通块形态的关系，从而转化为给一棵树填数使得最大权连通块为整棵树，而这可以用每棵子树总和为 \([0,x]\) 刻画，那么从上到下填子树大小即可。

AGC074A

根据经典结论，拓扑序唯一当且仅当是一条链，所以找最长链。但这完全没有利用到给定的拓扑序，实际上可选若干条链，需满足这些链的相对大小唯一确定，也就是每条链对应拓扑序一段区间，且当前链尾到下一个链头之间存在一个点用于区分大小关系。dp 即可。

总结：简单推结论题。

AGC074B