7-8 贪心专题2

posted on 2025-07-08 13:42:25 | under | source

别逮着 wzr 一个人薅啊。比昨天简单很多。

AGC016E

小清新题。找充要条件。

先考察一只美味烧鸡 \(x\) 存活条件，按时间轴从晚往早找到第一条决策 \(t\) 时刻 \((x,y)\)，必须让 \(y\) 活下来然后吃掉，那么 \(1\dots t-1\) 时刻的充要条件变为 \(x,y\) 同时存活。以此类推。

推广一下，当前推到第 \(t\) 时刻，\(x\) 存活的充要条件为前 \(t\) 时刻 \(S_x\) 内的美味烧鸡都存活。那么 \(t-1\) 时刻的决策 \((a,b)\)，若 \(a,b\notin S_{x,t}\) 那么啥事没有，若其一 \(\in S_{x,t}\) 就将另一个也加入集合，否则产生矛盾 \(x\) 活不了。

接下来考虑两只美味烧鸡 \(x,y\) 同时存活。假如 \(S_x,S_y\) 有交，取其一 \(k\)，令 \(k\) 先加入 \(S_x\) 后加入 \(S_y\)，那么考虑使 \(k\) 加入 \(S_y\) 的决策 \((p,k)\)，则此时 \(p,k\in S_y,k\in S_x\)，按照定义 \(p,k\) 都不能吃掉，矛盾。反之，无交显然不会互相干扰，所以都能活。

直接暴力 \(O(nm)\) 得到 \(S\)，暴力枚举 \(S_x,S_y\) 是否存活 \(O(n^3)\)。

submission

CF1446D2

link

众数与子区间的结论 + 根号分治。~~让讲题人无地自容的题。~~

记 \(x\) 为整个序列的众数。考虑子区间 \([l,r]\) 且 \(x\) 不为其众数，记 \(y\) 为众数其一。将 \([l,r]\) 拓展，由于初始 \(cnt_y>cnt_x\) 且最终 \(cnt_y\le cnt_x\)，因此拓展时必然存在 \(cnt_x=cnt_y\)。对于 \(x\) 不为众数的区间不断做此拓展操作，无法拓展时即为整个区间。

因此，只需找出最大的满足存在 \(y\) 使得 \(cnt_x=cnt_y\) 的区间。受 \(D1\) 值域较小的启发，考虑根号分治。对于出现次数 \(\ge \sqrt n\) 的数直接枚举，\(O(n^{\frac 32})\)。

对于出现次数 \(< \sqrt n\) 的数，枚举出现次数 \(k\)，那么双指针扫描即可。也是 \(O(n^{\frac 32})\)。

实测块长设为 \(1000\) 直接暴毙，设为 \(500\) 跑得飞快。

submission

CF1753E

link

观察 + 贪心 + 二分。对于这种算算式状物有时候可以考虑乘法分配律分析。不要排斥暴搜，在一定约束条件下也会有优秀复杂度。

题目说结果 \(\le 2\times 10^9\)，所以乘法操作（忽略 \(\times 1\)）至多 \(30\) 个。

然后贪心地想，移动乘法肯定放最后面，移动加法肯定放最前面。我们先确定乘法，再来搞加法。

考虑大力暴搜！然鹅肯定会暴毙。注意到对于相同元素，显然优先移动前面的，也就是枚举分界线即可。这样子复杂度就大大降低，相当于满足 \(\prod x_i^{p_i}\le 2\times 10^9\) 下最大化 \(\prod (p_i+1)\)，算得最大 \(4608\)。

考虑加法，将一个加法 \(+t\) 往前移动，设路径上的乘法之积为 \(X\)，答案便增大 \((X-1)t\)。那么取贡献前 \(k\) 大即可。

然鹅会超时。注意到乘法很少，每个加法对应的 \(X\) 是一段段的。那么提前将每段排序，就相当于对 \(\log\) 段有序序列取前 \(k\) 大。二分找到第 \(k\) 大，同时内层需要套一个二分，是 \(\log^3\) 级别的。需要注意第 \(k\) 大可能有多个，解决方法是改二分为找最小的 \(p\) 使得贡献 \(\ge p\) 的元素 \(\le k\)，然后答案再加上 \((k-cnt)(p-1)\)。你只能用贡献，因为对于 \(k-cnt\) 这部分不好得知原来的值是多少。