[最短路] [计数] [ARC090E] Avoiding Collision

posted on 2024-01-30 12:17:13 | under 题集 | source

考虑容斥：不相遇方案 \(=\) 总方案 \(-\) 相遇方案。

考虑求总方案，预处理 \(dis_i,dis2_i,cnt_i,cnt2_i\)，表示
\(s/t\) 到 \(i\) 的最短路长度 / 方案数，则总方案 \(= {cnt_{t}}^2\)。

考虑给相遇方案分类，显然不能将每条边的方案相加，这样重合端点会算重，不妨分为点上相遇和边（不包括两端点）上相遇。

1. 点：条件是 \(dis_i+dis2_i=dis_t\)，方案为 \((cnt_i*cnt2_i)^2\)。
2. 边：条件可转换为存在某一时刻，使得两点均在边（不包括两端点）上，正确性显然，那么两点在该边的时间段分别为 \([dis_u,dis_u+w]\) 和 \([dis2_v,dis2_v+w]\)，判断区间相交即可。即：\(dis_u+w>dis2_v\) 且 \(dis2_v+w>dis_u\)。方案数：\((cnt_u*cnt2_v)^2\)。