[组合计数] [容斥] [递推] P4448 球球的排列

posted on 2023-11-01 06:23:25 | under 未分类 | source

前言

借鉴 \(\rm skydogli\) 的题解，但更加详细。

题意

给定序列 \(a_1...a_n\)，求出它有多少种不同的排列，使得 \(\forall i<n,a_i*a_{i+1}\) 不为完全平方数。

注意“不同”指的是原下标不同。

思路

• 一个重要的性质：\(xy=p^2\)，\(yz=q^2\)。则 \(xz=p^2q^2/y^2\)，也是完全平方数。

我们发现，完全平方数是有传递性的，可以用并查集维护这个关系。

因此题目可被转述为：给定 \(m\) 个集合，求同一集合内的元素不相邻的排列数量？

有容斥的影子了。令 \(P_i\) 表示至少 \(i\) 组非法相邻，显然有：

\[ans = \sum\limits_{i=0}^{n-1} (-1)^iP_i \]

直接算 \(P_i\) 还是不好做，考虑贡献法。令 \(B\) 表示总共的非法相邻数，再设 \(b_i\) 表示 \(i\) 集合中至少有 \(b_i\) 组相邻，该集合大小为 \(a_i\)

• 又一个重要的性质：\(a_i\) 个数，分为若干组使得有 \(b_i\) 组相邻。则一定会分成 \(a_i - b_i\) 组。

我们把相邻看成连一条边，那么需要在 \(a_i-1\) 条边中选 \(b_i\) 条，有 \(a_i-1-b_i\) 条未被选择，它们把序列分为了 \(a_i-b_i\) 段。

进一步的，我们发现 \(i\) 集合产生 \(b_i\) 组相邻的方案数是：

\[a_i!C_{a_i-1}^{b_i} \]

即：先打乱序列，然后分为 \(a_i-b_i\) 段产生 \(b_i\) 组相邻。

接着，我们又发现原序列共有 \(n-\sum b_i = n - B\) 段。

由于上面已经算出每个集合内部的方案数，且不同集合之间不会干涉。因此只需再算出所有段的排列即可。

注意：我们认为相同颜色的段本质相同，否则会算重。

这就是个多重集排列嘛：

（用了容斥，所以不用关心集合间的关系，即谁把谁隔开了之类的）

\[\frac {(n-B)!}{\prod (a_i - b_i)!} \]

那么相乘得到：

\[\frac {(n-B)!}{\prod (a_i - b_i)!}\prod a_i!C_{a_i-1}^{b_i} \]

然后递推算出答案即可。具体的，设 \(f_{i,j}\) 表示考虑前 \(i\) 个集合，\(B=j\) 时上式的值。把 \((n-B)!\) 单独拎出来最后再算即可。

复杂度 \(O(n^2)\)，足够过此题。

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