[状压] P4484 [BJWC2018] 最长上升子序列

posted on 2023-12-13 08:54:51 | under 题集 | source

考虑怎么生成排列，有一种套路：将元素从小到大依次插入序列，比如 \(132\) 插入 \(4\) 就有 \(4132,1432...\) 共四种情况。

好处是新插入的元素一定大于先前所有元素，相当于多了一条性质，这在 插入法dp 里也是很有用的。

容易发现，在下标 \(j\) 右边插入新元素 \(i\) 后，以 \(1...i-1\) 结尾的 \(\rm LIS\) 长度都不会变，而 \(i\) 结尾的 \(\rm LIS\) 长度就是 \(LIS_j+1\)！

但是还是需要枚举全排列，所以必须对它进行压缩。显然 \(LIS_i-LIS_{i-1}\le1\)，那么不妨对其差分，差分数组 \(d_i=LIS_i-LIS_{i-1}\)，再对差分数组状压，\(f_S\) 记为满足差分数组压缩为 \(S\) 的排列数量。

结合上述讨论，不难得到插入新元素 \(i\) 后差分数组的变化，这相当于在 \(j\) 右边插入一个 \(1\)，并且将原数组中离 \(j\) 最近的且在 \(j\) 右边的 \(1\) 变成 \(0\)。

有点扯淡？举个例子：在原排列中下标 \(2\) 的后面插入新元素，假如原来差分数组是 \(11001\)，那么就会变成 \(100101\)。位运算处理一下即可。

复杂度 \(O(n^22^n)\)，但是这道题 \(n\le28\)，直接写过不了怎么办？

打表啊！
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