[小记] 线性筛递推积性函数

posted on 2024-02-24 01:31:35 | under 未分类 | source

先说说几个常见的积性函数：\(\phi,d,s,\mu\) 等，如果我们知道这些函数在质数次幂时的值，那么可以递推算出其它情况的值。

小引理：记 \(p\) 是 \(a\) 的最小质因子，\(k\) 是 \(p\) 在 \(a\) 里的最高次幂，则有 \(\gcd(p^k,\frac a{p^k})=1\)。这是因为 \(\frac a{p^k}\) 里一定不含有 \(p\)。

所以对于任意积性函数有 \(f(a)=f(p^k)*f(\frac a{p^k})\)，只需维护 \(k\) 即可，显然 \(k(a)=k(a/p)+1\)。