[线段树优化dp] P12196 [NOISG 2025 Prelim] Lasers 2

posted on 2025-04-20 13:59:33 | under | source

题意：\(n\times m\) 的网格，第 \(i\) 行有一个方块 \([l_i,r_i]\)，花 \(c_i\) 解锁后可以任意滑动。至多花费 \(k\) 则最多有多少列满足不存在任何木块？\(n,m\le 2\times 10^3\)。

枚举最终局面，有若干极大被覆盖区间。显然解锁的木块应叠在一起，只考虑最大者即可。对它分讨：

• 若全局最大值未解锁：一定合法。记 \(val_{i,j}\) 为 \([i,j]\) 子区间的花费和，\(f_{i,j}\) 为考虑 \([1,i]\) 有 \(j\) 个空隙的最大花费，转移枚举当前区间，只需保证全局最大值被包含即可。
• 若全局最大值被解锁：合法当且仅当存在覆盖段长度大于全局最大值，再设一维即可。强制被解锁只需把它删去即可。

容易线段树优化为 \(O(n^2\log n)\)。