[线段树维护哈希] CF213E

posted on 2024-02-02 12:16:36 | under 题集 | source

前言：线段树维护哈希好题，想通一点就容易做了，但是不看题解切掉还是挺困难的。

考虑如何匹配，有枚举值、匹配下标和枚举下标、匹配值两种方案，由于要求合法的 \(x\) 的数量，因此枚举值看起来更合理点（或者两种都试试）。

考虑枚举 \(x\)，等价于在 \(B\) 上枚举区间 \([x,x+n-1]\)。考虑下标如何匹配，我们令 \(A_i\) 表示 \(i\) 在 \(a\) 中的下标，同理有 \(B_i\)，那么只需比较 \(B[x,x+n-1]\) 离散化后与 \(A\) 是否完全相同即可。

考虑哈希，维护 \(B[x,x+n-1]\) 离散化后的哈希值 \(HASH\)。暴力处理 \(B[1,n]\) 的哈希值，那么接下来考虑相邻区间的转化即可，即删去第一个元素并在后面增加一个元素。

补充概念：字符串哈希等价于 \(base\) 进制，即 \(HASH(S[1,n])=\sum S_i\times base^{n-i}\)，我们称 \(base^{n-i}\) 项为 \(S_i\) 的权重。

定义 \(query(l,r)\) 表示区间内元素的权重之和，\(rk(k)\) 表示 \(k\) 离散化后的值。前者开一棵权值线段树维护，后者使用树状数组维护。

考虑删去区间第一个元素 \(k\)。首先将 \(HASH-rk(k)\times base^{n-1}\)，除此之外 \(HASH-query(k+1,m)\)，这是因为删去 \(k\) 后区间内 \(>k\) 的元素离散化后的值都会 \(-1\)，即少一个权重。同时维护线段树。

考虑在区间后面接一个元素 \(k\)。同上，先将 \(HASH\times base+rk(k)\)，然后 \(HASH+query(k+1,m)\)。同时维护线段树。

复杂度 \(O(n\log n)\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
const int N = 3e5 + 5, base = 1331, mod = 1e9 + 7;
int n, m, a[N], b[N], t[N], bas[N];
int A[N], B[N], S[N], hsh, hsh2, ans;

inline void upd(int a, int k) {for(; a < N; a += a & -a) t[a] += k;}
inline int rk(int a) {int res = 0; for(; a > 0; a -= a & -a) res += t[a]; return res;}
namespace Sg_Tree{
	#define lt (u << 1)
	#define rt (u << 1 | 1)
	#define mid (l + r >> 1)
	int s[N << 2], tag[N << 2];
	
	inline void psup(int u) {s[u] = (s[lt] + s[rt]) % mod;}
	inline void psdw(int u) {
		s[lt] = s[lt] * tag[u] % mod, s[rt] = s[rt] * tag[u] % mod;
		tag[lt] = tag[lt] * tag[u] % mod, tag[rt] = tag[rt] * tag[u] % mod;
		tag[u] = 1;
	}
	inline void build(int u, int l, int r){
		tag[u] = 1;
		if(l == r) {s[u] = S[l]; return ;}
		build(lt, l, mid), build(rt, mid + 1, r);
		psup(u);
	}
	inline void upd1(int u, int l, int r, int k, int op){
		if(l == r) {s[u] = tag[u] = op; return ;}
		psdw(u);
		if(k <= mid) upd1(lt, l, mid, k, op);
		else upd1(rt, mid + 1, r, k, op);
		psup(u);
	}
	inline void upd2() {s[1] = s[1] * base % mod; tag[1] = tag[1] * base % mod;}
	inline int query(int u, int l, int r, int ll, int rr){
		if(ll > rr) return 0;
		if(ll <= l && r <= rr) return s[u];
		psdw(u);
		int res = 0;
		if(ll <= mid) res = query(lt, l, mid, ll, rr);
		if(rr > mid) res = (res + query(rt, mid + 1, r, ll, rr)) % mod;
		psup(u);
		return res;
	}
}
using namespace Sg_Tree;
signed main(){
	cin >> n >> m;
	for(int i = 0; i <= m; ++i) bas[i] = !i ? 1 : bas[i - 1] * base % mod;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%lld", &a[i]), A[a[i]] = i;
	for(int i = 1; i <= m; ++i) scanf("%lld", &b[i]), B[b[i]] = i;
	if(n > m) {cout << 0; return 0;}
	
	for(int i = 1; i <= n; ++i) 
		hsh = (hsh * base % mod + A[i]) % mod, upd(B[i], 1);
	for(int i = 1; i <= n; ++i) 
		hsh2 = (hsh2 * base % mod + rk(B[i])) % mod;
	
	S[B[n]] = 1;
	for(int i = n - 1; i >= 1; --i) S[B[i]] = S[B[i + 1]] * base % mod; 
	build(1, 1, m);
	
	for(int i = 1; i <= m - n + 1; ++i){
		if(hsh == hsh2) ++ans;
		if(i + n <= m){
			int R = i + n;
			//删首
			hsh2 = (((hsh2 - bas[n - 1] * rk(B[i]) % mod)) % mod + mod) % mod; 
			hsh2 = ((hsh2 - query(1, 1, m, B[i] + 1, m)) % mod + mod) % mod;
			upd1(1, 1, m, B[i], 0), upd(B[i], -1);
			//加尾
			upd2(), hsh2 = (hsh2 * base + rk(B[R]) + 1)% mod;
			hsh2 = (hsh2 + query(1, 1, m, B[R] + 1, m)) % mod;
			upd1(1, 1, m, B[R], 1), upd(B[R], 1);
		}
	}
	cout << ans;
	return 0;
}