[线段树] P8375 [APIO2022] 游戏

posted on 2025-05-12 08:07:47 | under | source

题意：\(n\) 个点的图，\(0\dots k-1\) 是特殊点。初始时只有一条 \(\forall i<k-1,i\to i+1\) 的链，接下来逐步加入 \(m\) 条有向边，每次判断是否存在一个环，满足环上存在特殊点。\(k\le n\le 3\times 10^5,m\le 5\times 10^5\)。

每次找环是困难的，考虑利用初始链的性质，得到一种便于判定的方法。容易发现，在初始链上，可以到达 \(u\) 的点（前驱）构成一段前缀，\(u\) 可以到达的点（后继）构成一段后缀。

所以记 \(pre_i,suf_i\) 为在 \(0\dots k-1\) 的范围内的前缀、后缀，初始时非特殊点 \(pre_i=-1,suf_i=k\)，特殊点 \(pre_i=suf_i=i\)。

对于不含非特殊点的环，只需判定是否存在一条两端为特殊点且往回走的边即可（而不往回走又没有意义，所以接下来忽略两端为特殊点的边）；否则，有环当且仅当存在非特殊点满足 \(pre_i\ge suf_i\)。

直接暴力维护 \(pre,suf\) 可以做到 \(O((n+m)k)\)。

准确维护的方法貌似只有暴力，所以破产了。那么考虑放宽限制，但保证正确性。具体来说，将 \([pre_i,suf_i]\) 视为一个区间，然后对 \(-1\dots k\) 建线段树，将 \([pre_i,suf_i]\) 下放到线段树节点上。我们声称，将 \([pre_i,suf_i]\) 视为线段树上的区间，不会影响正确性。

还有一个好处，非特殊点若到达叶子节点就说明有环，所以保证了时间复杂度。

接下来考虑怎么维护线段树。首先我们声称：经过修改，若线段树区间未发生变化，则不会产生环，也就是将线段树区间视为实际区间不影响正确性。

分讨：

• 若 \(x,y\) 的线段树区间相同：并无影响。
• 若 \(x,y\) 的线段树区间相离：若 \(x\) 区间在 \(y\) 区间左边，区间不变直接忽略；若 \(x\) 在 \(y\) 右边，则会产生一个环，包含 \([suf_y,pre_x]\) 中的特殊点。
• 若 \(x,y\) 的线段树区间包含：根据 \(x,y\) 的祖先后代关系、在左右哪个儿子子树进行分讨，发现只有两种情况线段树区间发生变动。以 \(y\) 在 \(x\) 的左儿子子树为例，那么影响是 \(suf_x=suf_y\)，我们先把 \(x\) 下放到左儿子继续递归即可。\(x\) 在 \(y\) 的右儿子同理。
• 此外，若线段树区间发生变化，则应当更新所有与它相连的边。

关于正确性：是否可能存在一条边 \(u\to v\)，满足 \(u\) 在 \(v\) 的右儿子子树，一开始不会产生环，但后来 \(v\) 区间缩小，导致虽然它们的线段树区间没变，可是实际区间 \(u\) 与 \(v\) 相离且 \(u\) 在右边，然后产生环？并不会，因为一开始处理这条边时就已经搞好了会判出环。其它情况同理。

复杂度均摊 \(O((n+m)\log k)\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 3e5 + 5;
int n, m, k, l[N], r[N];
vector<int> to[N], to2[N];

void init(int nn, int kk) {
    n = nn, k = kk;
    for(int i = 0; i < k; ++i) l[i] = r[i] = i;
    for(int i = k; i < n; ++i) l[i] = -1, r[i] = k; 
}
inline bool upd_edge(int x, int y);
inline bool upd_node(int x){
    for(auto y : to[x])
        if(upd_edge(x, y)) return true;
    for(auto y : to2[x])
        if(upd_edge(y, x)) return true;
    return false; 
}
inline bool upd_edge(int x, int y){
    if(x < k && y < k) return x >= y;
    if(r[x] < l[y]) return false;
    if(r[y] < l[x]) return true;
    if(l[x] == l[y] && r[x] == r[y]) return false;
    int midx = (l[x] + r[x]) >> 1, midy = (l[y] + r[y]) >> 1;
    if(r[y] <= midx){
        r[x] = midx;
        if(l[x] == r[x]) return true;
        return upd_node(x); 
    }
    if(l[x] > midy){
        l[y] = midy + 1;
        if(l[y] == r[y]) return true;
        return upd_node(y);
    }
    return false;
}
int add_teleporter(int u, int v) {
    to[u].push_back(v), to2[v].push_back(u);
    return upd_edge(u, v);
}
inline void print(){
    for(int i = 0; i < n; ++i) cout << l[i] << ' ' << r[i] << endl;
    cout << endl;
}