[颓柿子] P3455 P2257

posted on 2023-12-11 04:39:28 | under 题集 | source

记录下怎么得到的式子。

默认 \(\frac ab=\lfloor \frac ab \rfloor\)

P3455

求 \(\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^m [(i,j)=p]\)。

\(=\sum\limits_{i=1}^{\frac n p}\sum\limits_{j=1}^{\frac m p}[(i,j)=1]\)

因为 \(\sum\limits_{d|(i,j)}\mu(d)=e((i,j))=[(i,j)=1]\)，所以：

\(=\sum\limits_{i=1}^{\frac n p}\sum\limits_{j=1}^{\frac m p}\sum\limits_{d|(i,j)} \mu(d)\)

这种题有个常用技巧：更换枚举顺序，即考虑外层对内层造成的贡献。我们知道 \(d\mid (i,j) \to d \mid i,j\)，所以先枚举 \(d\)，当 \(d\mid i,j\) 时答案 \(+\mu(d)\)：

\(=\sum\limits_{d=1}^{\frac{\min(n,m)}p}\mu(d)*\frac n{pd}\frac m{pd}\)

整除分块，然后预处理出 \(\mu\) 的前缀和即可。

提交记录。

P2257

求 \(\sum\limits_{p\in prime}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^m [(i,j)=p]\)。

直接套用上一题结论：

\(=\sum\limits_{p\in prime}\sum\limits_{d=1}^{\frac{\min(n,m)}p}\mu(d)*\frac n{pd}\frac m{pd}\)

为了让第一第二层联系起来，套路地设 \(pd=R\)：

\(=\sum\limits_{p\in prime}\sum\limits_{p\mid R}^{\min(n,m)}\mu(\frac Rp)*\frac nR\frac mR\)

更换枚举顺序，原式是质数向倍数贡献，那直接枚举 \(R\) 并统计其质因子的贡献即可。

\(=\sum\limits_{R=1}^{\min(n,m)}\sum\limits_{p\in prime,p\mid R} \mu(\frac Rp) * \frac nR * \frac mR\)

\(=\sum\limits_{R=1}^{\min(n,m)}\frac nR * \frac mR\sum\limits_{p\in prime,p\mid R} \mu(\frac Rp)\)

整除分块，\(\sum\limits_{p\in prime,p\mid R} \mu(\frac Rp)\) 是可以预处理出来的。