[图论] [0_1分数规划] P2868 [USACO07DEC] Sightseeing Cows G

posted on 2024-06-13 10:42:48 | under | source

二分答案 \(mid\)：

\[\frac {\sum F_u}{\sum T_e}\ge mid \]

简单转化：

\[\sum F_u-\sum mid\times T_e\ge 0 \]

因为这是一个环，如果每有一条边，就计算其两端节点 \(F\) 一次，那么最后每个点恰被多计算一倍

于是令 \(W_e=T_e-F_u-F_v\)：

\[\sum W_e\ge 0 \]

所以求一个最大环？这不是 NPC 问题吗？！其实是我 sb 了，判断正环就好了。

最后还有个有趣的问题，严格来说式子不能让同一个点被计算两次，但是我们可以证明存在最优环使得每个点只会被计算一次（经过两次），以保证正确性。

证明：这是个复杂环，可以将它拆成两个环，假设这两个环点集的交集的点权和为 \(Fs\)，两个环点权、边权分别为 \(F_1,T_1\) 和 \(F_2,T_2\)。

要证明：

\[\max(\frac {F_1}{T_1},\frac {F_2}{T_2})\ge \frac{F_1+F_2-Fs}{T_1+T_2} \]

将 \(Fs\) 必然是负数，可以将它去掉方便判定。

单独拎出 \(\frac {F_1}{T_1}\)，不等式是：

\[\frac {F_1}{T_1}\ge \frac {F_1+F_2}{T_1+T_2} \]

根据数据范围，\(T_1,T_2,T_1+T_2>0\)。

\[F_1T_1+F_1T_2\ge F_1T_1+F_2T_1 \]

\[F_1T_2\ge F_2T_1 \]

然后另一个不等式就是：

\[F_2T_1\ge F_1T_2 \]

它们两互逆，所以说其一肯定满足。