[贪心] [欧拉回路] P6628 丁香之路

posted on 2023-11-05 06:15:57 | under 未分类 | source

前言

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神仙贪心题，初看根本没有头绪QwQ

思路

首先把 \(m\) 条路建成一个图，我们对该图进行讨论。

最简单情况：图连通，且有欧拉路 \(s\to t\)，答案即为原边权之和。

如果图连通、但无欧拉路怎么办？有两个选择：建新边使欧拉路存在和同一条边重复走。

注意到 \(w_{u,v} = |u-v|\)，因此任两点的最短路径一定是直接走 \(u\to v\) 这条边，所以建新边一定不劣于重复走多次。

由这一点可知，题面的“至少走一次”等价于“恰好走一次”。那么就是个欧拉路径问题。

不过直接求欧拉路径不好做，转换下试试：“\(s\to t\) 的欧拉路径”等价于“连接虚边 \(s,t\)，以 \(s\) 为起点走欧拉回路”。

（虚边的意思就是这条边存在但是边权为 \(0\)）

然后不需考虑连通性，可以把度为奇数的点抽出来并排序，两两连边。由绝对值性质知这样做一定最优。

（无向图中一定有偶数个奇点）

那么图不连通的情况呢？直接建边跑最小生成树即可，为了不影响奇偶需乘二。

不过这样做边数是 \(n^2\) 级别的。实际上只需将两相邻点之间的边加入候选边即可，边数降为 \(n\) 级别。当然这些点必须与 \(m\) 条边有关。

为什么这样连边一定有解？还是因为绝对值的性质！首先易知任意两连通块一定有路径可达（考虑绝对值的几何意义）。

又因为 \(a<b<c\) 时 \(|a-b|+|b-c|=|a-c|\)，所以 \(a\to b,b\to c\) 不劣于直接 \(a\to c\)，这便保证了得到的是最优解。

以为这就结束了？上述贪心策略还不够贪，还需将“两奇点 \(s,t\) 连边” 改为“连接两奇点之间的所有点，即 \(s\to s+1,s+1\to s+2...t-1\to t\)”，这样便在代价不变的情况下连接了更多边。

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一些思考

首先把所有有关点放到数轴上，\(s\to t\) 的边权就是 \(s,t\) 两点的距离。

有没有可能，不连接两两相邻的奇点，而是把连通性也考虑进去更优呢？

（也就是连接的边有相交）

我认为贪心策略的正确性，与“连接两奇点之间的所有点”这一做法有关。因为这样做后，容易发现 \(s\to t\) 的所有点都被加进同一连通块，进一步可知最终连接的所有边都互不相交。

考虑四个奇点 \(a<b<c<d\)，假如存在一最优解 \(a\to c,b \to d\)，那么我们的贪心策略一定会包含 \(a\to b,b\to c, c\to d\) 这一情况，显然花费更少，还连接了更多点。

换句话说，一定存在一种“线段互不相交”的花费不多于“线段相交”的花费，并且连接的连通块更多。上述贪心策略的正确性得以保证。

总结

1. “至少经过一次”问题有时可以转化为欧拉路问题。
2. 欧拉路径问题可以通过连接虚边转化为欧拉回路问题。
3. 遇到不会做的图论题时，从边权入手或许可行。