[贪心] [单调队列优化dp] P5665 划分

posted on 2023-10-27 09:21:29 | under 题集 | source

题意

给出一个长为 \(n\) 的序列 \(a\)，你可以将其分为若干段。定义 \(S_i\) 表示每段的和，需使得 \(\forall S_{i-1} \le S_i\)。求 \(\min{\sum Si^2}\) ？

思路

• 暴力 \(n^3\) 做法

关键在于 \(S_{i-1}\le S_i\) 的约束。为了描述状态，我们需要定义 \(f_{i,j}\) 表示最后一段为 \([i,j]\) 时的最小值。

只能过前 \(9\) 个点。

• 贪心简化状态

\(n^2\) 的状态表示是个绕不过去的坎，我们需要对其简化。

仔细想想，假设一开始没有划分，那么总值为 \(V\)。现在划分 \(l\)，使得总值变为 \({v_1} ^2 + {v_2}^2\)，且 \(V=v_1+v_2\)。由完全平方公式可得，多划分肯定更优。

那我们看看划分次数为 \(1\) 的时候，划分哪里比较好？众所周知，平方函数的增长速率是不断增大的，那么应让 \(v_2-v_1\) 尽量小，所以应该在最右侧满足 \(v_1\le v_2\) 的位置划分。

而且这个结论还能拓展到划分次数更多的情况。可以这样简单理解下：

1. 由于最后一段的和是上界，所以在总和不变的情况下，上界越小，段数越多。这恰恰符合一开始的推理。

2. 由于最后一段的和尽量小，所以对于后面的限制也更小，后面的上界也能尽量小。又绕回 \(1\) 了。

目前为止已经可以说服我自己了，而且可以通过打表得到验证。详细证明1，详细证明2，也算是留给自己一个思考题了。

综上，我们可以开一个辅助数组 \(ma_i\) 记录 \([1,i]\) 最优划分中最后一段的最小值，\(f_i\) 直接记录 \([1,i]\) 最小代价即可。

当 \(ma_j\le s_i-s_j\) 时转移：

\[f_j+(s_i-s_j)^2 \to f_i \]

复杂度 \(O(n^2)\)。

提交记录，又黑又紫。

• 单调队列优化

首先，我们不需要关注 \(f_j\) 的取值，只需找到满足条件的 \(\max j\) 即可。

然后观察转移条件，移项得 \(ma_j+s_j\le s_i\)。由于左侧与 \(i\) 无关，可以考虑单调队列优化。

接着套路地想个单调性质：\(i<j\) 且 \(ma_i+s_i>ma_j+s_j\)，则 \(i\) 一定劣于 \(j\) 可以被删去。

那么令队中元素满足下标升序，\(ma_j+s_j\) 升序。插入很简单，从队尾开始比较 \(ma_i+s_i\)，由性质得这样干没问题。

如何找 \(\max j\) ？不可能每次从头遍历一次。注意到 \(s_i\) 单调递增，也就是说假如队中元素无法成为 \(i\) 的决策，那么也一定不会成为之后的决策。所以只需找到队中的决策点，保留它并删去它之前的元素即可。

（其实就是性质应用于队头）

• 毒瘤出题人

首先如果不写高精的话，就必须用 __int128。

然鹅，\(n\le4e7\)。就算只开一个 __int128 数组也会爆，考虑如下简单优化：

1. f 数组记录从哪转移而来，这样用 int 即可。
2. 除 s,ma 外都用 int。

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