[贪心] [dp] CF1152D Neko and Aki's Prank

posted on 2024-04-03 05:37:35 | under | source

吃饭时想出来的，挺有意思。

先让 \(n=n*2\)。

先思考对于一颗树，怎么求出其最大独立边集。从上往下不太现实，但是从下往上就能找到性质了。只要每次选取叶子上的边（相同祖先选哪个都行），就能保证最优。

为什么？对叶子上的边 \(e(u,v)\) 讨论，\(v\) 是叶子，\(u\) 是另一个点，\(fa\) 是 \(u\) 的父亲。我们发现不选 \(e(u,v)\)，选取 \(e(fa,u)\) 的话，它们的贡献相等都是 \(1\)，但是选 \(e(fa,u)\) 会导致 \(v\)、\(fa\) 都被占用，不如 \((u,v)\)。

换句话说，每次选取叶子上的边，可以使得对未来的影响最小，同时对答案的贡献还不劣。

回到 \(\rm trie\) 上，我们当然不可能建出树然后跑一遍。如何优化这个过程？由于相同 \(u\) 的边，只会选取其一，这启示我们用 \(u\) 计数。又因为 \(\rm trie\) 上任意时刻叶子节点的深度都相同，所以答案等价于 \(n,n-2,n-4...\) 层节点数目和。

怎么计数呢？回到括号序列，尝试记 \(f_i\) 表示长度 \(i\) 的括号串数量。但是这些串不一定要合法，因为一些左括号可以之后再被匹配。因此加一维记 \(f_{i,j}\) 表示长度 \(i\)、待匹配左括号数量为 \(j\) 的串数量（除待匹配括号外，这个串合法）。转移很简单。

最后计算答案，考虑 \(f_{i,j}\)。这其实是可行性问题，只要存在任意合法串以 \(f_{i,j}\) 为前缀，就可以算入答案。如果这 \(j\) 个待匹配括号能在此后被匹配，并且剩下位置可以被填充为合法串，那么就将 \(f_{i,j}\to ans\)。这句话对应下来就是：\(n-i-j\ge 0\) 且 \(2\mid n-i-j\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
const int N = 2e3 + 5, mod = 1e9 + 7;
int n, f[N][N], ans;

signed main(){
	cin >> n, n <<= 1;
	f[1][1] = 1;
	for(int i = 2; i <= n; ++i)
		for(int j = 0; j <= i; ++j){
			if(j) f[i][j] = (f[i][j] + f[i - 1][j - 1]) % mod; //左括号 
			f[i][j] = (f[i][j] + f[i - 1][j + 1]) % mod; //右括号 
		}
	for(int i = 1; i <= n; i += 2)
		for(int j = 0; j <= i; ++j)
			if(n - i - j >= 0 && (n - i - j) % 2 == 0) ans = (ans + f[i][j]) % mod;
	cout << ans;
	return 0;
}