[扫描线] [状压dp] CF1313D

posted on 2023-11-15 12:40:17 | under 题集 | source

思路

\(k\) 很小，考虑状压。具体地，由扫描线的思路将 \([l,r]\) 拆分为起始点 \(l\) 和终结点 \(r+1\)，并对这 \(2m\) 个点排序。

然后开个数组 \(d\) 实时记录覆盖 \(i\) 的区间编号，那么可以设 \(f_{i,S}\) 表示考虑前 \(i\) 且覆盖到 \(i\) 的区间状态为 \(S\)，这里的 \(S\) 需与 \(d\) 结合使用。

如何转移？可以略为改变下状态，使其表示填到 \(a_i-1\) 个格子，并且 \(S\) 状态中的区间将接到 \(i+1\) 个点，这样就很容易做了。

那么转移分为衔接 \(i-1\) 和为 \(i+1\) 准备（这里要分起始点和终结点讨论）。

我的思路比较奇妙，具体看代码吧，感觉一看就懂。

实现时需注意：对点排序时还需使 op 作为第二关键字，让终结点优先。否则若重复的端点过多，可能会使得 d 数组大小爆掉。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define MAX(a, b) (a) = max((a), (b))
const int N = 2e5 + 5, K = 8, KK = 1 << 8;
int n, m, k, l, r;
int f[N][KK], ct[KK], inf, d[K], ans;
struct node{int op, x, id;}a[N];

inline bool cmp(node A, node B) {return A.x == B.x ? A.op < B.op : A.x < B.x;}
signed main(){
	cin >> m >> n >> k;
	for(int i = 1; i <= m;++i){
		scanf("%d%d", &l, &r);
		a[i] = {1, l, i}, a[i + m] = {-1, r + 1, i};
	}
	m <<= 1;
	sort(a + 1, a + 1 + m, cmp);
	
	memset(f, -0x3f, sizeof f), ans = inf = f[0][0], f[0][0] = 0;
	for(int i = 1; i < KK; ++i) ct[i] = ct[i ^ (i & -i)] ^ 1; //count(i)%2
	for(int i = 1; i <= m; ++i){
		for(int S = 0; S < KK; ++S) //衔接i-1 
			if(f[i - 1][S] ^ inf) MAX(f[i][S], f[i - 1][S] + ct[S] * (a[i].x - a[i - 1].x));
		int now;
		if(a[i].op == 1){
			for(int j = 0; j < k; ++j)
				if(!d[j]) {now = j, d[j] = a[i].id; break;} //更新d 
			for(int S = KK - 1; S >= 0; --S) //倒序防止重复 
				if(f[i][S] ^ inf) MAX(f[i][S | (1 << now)], f[i][S]); //可以新舔now区间留给i+1 
		}
		else{
			for(int j = 0; j < k; ++j)
				if(d[j] == a[i].id) {now = j, d[j] = 0; break;} //更新d 
			for(int S = 0; S < KK; ++S) //正序，理由同上 
				if((S >> now) & 1) MAX(f[i][S ^ (1 << now)], f[i][S]), f[i][S] = inf; //如S包含now区间，则必须去掉now
		}
	}
	for(int S = 0; S < KK; ++S) ans = max(ans, f[m][S]);
	cout << ans;
	return 0;
}