[南海云课堂] [最短路模板] 拜年

posted on 2023-08-08 14:07:47 | under 题集 | source

题意

某城里有 \(n\) 个车站，\(m\) 条双向道路连接其中的某些车站。

每两个车站最多用一条公路连接，从任何一个车站出发都可以经过一条或者多条公路到达其他车站，但不同的路径需要花费的时间可能不同。

在一条路径上花费的时间等于路径上所有公路需要的时间之和。

佳佳的家在车站 \(1\)，他有五个亲戚，分别住在车站 \(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\)，\(e\)。

过年了，他需要从自己的家出发，拜访每个亲戚（顺序任意），给他们送去节日的祝福。

怎样走，才需要最少的时间？

\(1≤n≤50000\)

\(1≤m≤1000000\)

\(1<a,b,c,d,e≤n\)

\(1≤x,y≤n\)

\(1≤t≤100\)

思路

最短路径由起点、终点的不同，可分为两部分：

1. 佳佳 \(->\) 亲戚。

2. 亲戚 \(->\) 亲戚。

对于 \(1\)：跑一遍源点为 \(1\) 的最短路即可。

对于 \(2\)：由于亲戚数量固定为 \(5\)，因此以不同亲戚为起点，跑 \(4\) 次单源最短路即可（最后一个亲戚不用跑）。

预处理后，直接全排列暴力枚举访问次序，并取最小值。

考虑使用堆优化的 \(\rm{Dijkstra}\)。时间复杂度：\(O(mlogn)\)，常数为 \(5\)，故可通过。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define pir pair<int,int>
const int N=5e4+5,M=1e6+5;
int n,m,u,v,w,a,b,c,d,ee,dis[N],vis[N],head[N],cnt,ans;
int jj[15],qq[15][15],f[15];
struct edge{
	int v,w,nxt;
}e[2*M];
void add(int u,int v,int w){
	e[++cnt].v=v;
	e[cnt].w=w;
	e[cnt].nxt=head[u];
	head[u]=cnt;
}
void dj(int k){
    priority_queue<pir,vector<pir>,greater<pir>>q;
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis)); 
    memset(vis,0,sizeof(vis)); 
    dis[k]=0; 
    q.push({0,k}); 
    while(!q.empty()){ 
        int s=q.top().first; 
        int k=q.top().second; 
        q.pop(); 
        if(vis[k]){ 
            continue;
        }
        vis[k]=1; 
        for(int i=head[k]; i;i=e[i].nxt){
            int j=e[i].v;
            if(!vis[j]&&dis[k]+e[i].w<dis[j]){ 
                dis[j]=dis[k]+e[i].w;
                q.push({dis[j],j});
            }
        }
    }
}
void insert(int u,int v,int w){
	qq[u][v]=qq[v][u]=w;
}
void zsw(){
	dj(1);
	jj[1]=dis[a];
	jj[2]=dis[b];
	jj[3]=dis[c];
	jj[4]=dis[d];
	jj[5]=dis[ee];
	dj(a);
	insert(1,2,dis[b]);
	insert(1,3,dis[c]);
	insert(1,4,dis[d]);
	insert(1,5,dis[ee]);
	dj(b);
	insert(2,3,dis[c]);
	insert(2,4,dis[d]);
	insert(2,5,dis[ee]);
	dj(c);
	insert(3,4,dis[d]);
	insert(3,5,dis[ee]);
	dj(d);
	insert(4,5,dis[ee]);
}
void dfs(int fhr,int tot,int sum){
	if(tot==5){
		ans=min(ans,sum);
		return ;
	}
	for(int i=1; i<=5;i++){
		if(!f[i]){
			f[i]=1;
			dfs(i,tot+1,sum+qq[fhr][i]);
			f[i]=0;
		}
	}
}
int main(){
	scanf("%d%d%d%d%d%d%d",&n,&m,&a,&b,&c,&d,&ee);
	for(int i=1; i<=m;++i){
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		if(u==v){
			continue;
		}
		add(u,v,w);
		add(v,u,w);
	}
	
	zsw();
	ans=0x3f3f3f3f;
	
	for(int i=1; i<=5;i++){
		f[i]=1;
		dfs(i,1,jj[i]);
		f[i]=0;
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}