[南海云课堂] [区间 DP] 最小值

posted on 2023-08-08 13:51:48 | under 题集 | source

题意

给定一个长度为 \(n\) 的数组 \(a\)（\(1<=n<=500\)），每次可以进行如下的两步操作：

1. 选择第 \(i\) 个元素 \(a_i\)，并且需要满足 \(a_i=a_{i+1}\)。

2. 将 \(a_i\) 和 \(a_{i+1}\) 替换成 \(a_i+1\)。

每次操作很显然会使数组的长度减少 \(1\)，问经过若干次操作后数组的长度最小值。

思路

显然，序列可分为若干个区间，两个小区间也可以合成大区间。

再观察 \(n\) 的大小，一眼区间 \(\rm{DP}\)，不妨往这方面探索。

那么区间的状态如何表示？结合题目，定义 \(f_{i,j}\) 表示区间 \((i,j)\) 是否可经过若干次操作使得剩下一个数。

之所以之关注剩下 \(1\) 个数的状态，是因为剩下 \(k\) 个数的有效区间均可被分为若干个剩下 \(1\) 个数的区间。换言之，只剩 \(1\) 个数的状态是最小状态。

显然，只记录 \(f\) 是不行的。为了判断可否进行操作 \(2\)，再定义 \(jl_{i,j}\) 表示区间 \((i,j)\) 所剩下的那一个数。

状态有了，转移方程便非常明显。

若满足：

\(f_{i,k}=1\) ， \(f_{k+1,j}=1\)，\(jl_{i,k}=jl_{k+1,j}\)

则说明 \((i,j)\) 可由 \((i,k)\) 与 \((k+1,j)\) 转移而来，即：

\(f_{i,j}=1\)，\(jl_{i,j}=jl_{i,k}+1\)

区间 \(\rm {DP}\) 部分结束。

定义 \(g_i\) 表示 \((1,i)\) 至少剩下几个数。

易发现，如果 \(f_{j,i}=1\)，则 \(g_i=g_{j-1}+1\)。

最终输出 \(g_n\) 即可。

时间复杂度：\(O(n^3+n^2)\)。

正确性：由于 \(f\) 记录的是最小状态，所以一定能表示出所有有效区间，所以不会漏算、少算。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e2+5;
int n,a[N],f[N][N],jl[N][N],g[N],ans;
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1; i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		f[i][i]=1;
		jl[i][i]=a[i];
	}
	for(int len=2; len<=n;len++){
		for(int i=1; i<=n-len+1;i++){
			int j=i+len-1;
			for(int k=i; k<=j;k++){
				if(f[i][k]&&f[k+1][j]&&jl[i][k]==jl[k+1][j]){
					f[i][j]=1;
					jl[i][j]=jl[i][k]+1;
				}
			}
		}
	}
	ans=n;
	for(int i=1; i<=n;i++){
		g[i]=i;
		for(int j=1; j<=i;j++){
			if(f[j][i]){
				g[i]=min(g[i],g[j-1]+1);
			}
		}
	}
	cout<<g[n];
	return 0;
}