[南海云课堂] [DP] 最大价值

posted on 2023-08-16 12:19:48 | under 题集 | source

洛谷链接

题意

输入一个 \(n*n\) 的矩形，每个 \(a_{i,j}\) 是这个位置的价值。现在要从左上角走到右下角再返回，每个价值只被计算一次，求最大价值和

思路

首先进行问题转换，可视作两个人同时从起点走向终点，每个点价值只被计算一次。

那便得到关键性质 同时，启发我们将两个人放在一起计算。

那么易想到暴力 \(\rm{DP}\)，令 \(f_{i,j,x,y}\) 表示第一个人在 \((i,j)\)、第二个人在 \((x,y)\) 时的最大价值和，时空复杂度都是 \(O(n^4)\)。

考虑优化，观察到 \(i,j,x,y\) 中有一维是多余的。例如 \(y=i+j-x\)，这样便能优化掉一维。

再次整理思路，上一种方法可做但不清晰，不妨设 \(f_{step,i,x}\) 表示当前进行到第 \(step\) 步，且二人的横坐标分别为 \(i,x\) 时的最大价值。

这样做时空复杂度是 \(O(n^3)\)，可过。

考试时愣是没任何思路，这个故事告诉我们先写暴力是好习惯。

代码

价值可能为负，要注意初始化，以及坐标是否出界。

主要部分就在这：

for(int step=1; step<=2*n-1;step++){
		for(int i=1; i<=n;i++){
			for(int x=1; x<=n;x++){
				int j=step-i+1,y=step-x+1;
				if(j<1||j>n) continue;
				if(y<1||y>n) continue;
				f[step][i][x]=max(f[step-1][i-1][x-1],f[step][i][x]);
				f[step][i][x]=max(f[step-1][i][x-1],f[step][i][x]);
				f[step][i][x]=max(f[step-1][i-1][x],f[step][i][x]);
				f[step][i][x]=max(f[step-1][i][x],f[step][i][x]);
				f[step][i][x]+=a[i][j]+a[x][y];
				if(i==x&&j==y){
					f[step][i][x]-=a[i][j];
				}
			}
		}
	}