[南海云课堂] [DP] [方案数计数] [问题转换] 同义串

posted on 2023-08-16 13:17:41 | under 题集 | source

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题意

对于单词（字符串） \(s\) ，保证它只由小写字母组成。

设 $ s$ 的长度为 \(len\) ，下文单词（字符串）下标从 \(1\) 开始.

如果一个词可以通过零次或多次运算转换成另一个词，则我们认为这两个词的意思是一致的。

运算仅仅包含以下两种方式。

• 方式一：指定任意一个位置 \(p\) \((1 \le p \le len)\)使 \(s_p\) 上的字母变成 字母表上 的后一个字母(如 a 变成 b ，x 变成 y)，而 \(s_{p+1}\) 则要变成 字母表上 的前一个字母(如 d 变成 c)。
• 方式二：指定任意一个位置 \(p\) \((1 \le p \le len)\)使 \(s_p\) 上的字母变成 字母表上 的前一个字母，而 \(s_{p+1}\) 则要变成 字母表上 的后一个字母。

你需要回答对于输入的单词，一共有多少种与它意思一致的单词。

另外，对于字母 a ，不能将它变成前一个字母（因为它在字母表上没有前一个字母），同理 字母 z 也不能变成后一个字母。

给出多个单词（字符串），你需要分别对它们做出回答，答案对 \(1e9+7\) 取模。

思路

不要被这冗长的题意吓到。

不妨将字符串的每一位视作数字，那么 \(a=1,b=2...z=26\)。定义转换后为第 \(i\) 位为 \(s_i\)，在这上面操作即可。

每一次操作相当于 \(s_i\pm 1,s_{i+1}\mp1\)。易发现：对于 \(\forall (i,j)\)，都有 \(s_i\pm1,s_j\mp1\)。这一点可以构造法验证。

于是可得到关键性质：对于两个长度相等的串 \(S\)、\(P\)，若有 \(\sum s_i=\sum p_i\)，那么经过若干次操作后两串可相互转换。

还是构造法，每次将操作 \(p_i\) 使得 \(p_i=s_i\)，又因为和不变，所以必定可以逐位确定 \(p_i\)，最终 \(P=S\)，反之同理。

于是不妨将 \(S\) 抽象为 \(sm=\sum s_i\) 个小球，其中有 \(sm-1\) 个空格、\(|s|-1\) 个板，每种板的不同插入方案都对应与 \(S\) 相等的字符串，统计插板方案数即可。

但是注意，每个板构成的区间的大小都必须在 \([1,26]\) 之间，因此排列组合的插板法是不行的，考虑递推求解。

那么 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个空插入 \(j\) 个隔板，且第 \(i\) 个空必有板时的方案数之和，那便有状态转移方程 \(f_{i,j}=\sum\limits_{k=i-26}^{i-1}f_{k,j-1}\)。

在查询之前递推即可，预处理时间复杂度是 \(O(26^2n^2)\)，每次查询只需 \(O(1)\)。

代码

递推代码如下，我怕少算就多循环了几遍，不影响结果。

f[0][0]=1;
for(int i=1; i<=3000;i++){
	for(int j=1; j<=min(j,1LL*105);j++){
		for(int k=max(1LL*0,i-26); k<=i-1;k++){
			f[i][j]=(f[i][j]+f[k][j-1])%mod;
		}
	}
}