[南海云课堂] [DP 与最短路的关系] [最短路] [分层图] 道路与航线

posted on 2023-08-09 10:58:31 | under 题集 | source

题意

C 国有 \(n\) 个大城市和 \(m\) 条道路，每条道路连接这 \(n\) 个城市中的某两个城市。

任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。

这 m 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为 \(1\) 条。

C 国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。

但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。

商人阿龙来到 C 国旅游。

当他得知“同一种商品在不同城市的价格可能会不同”这一信息之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚一点旅费。

设 C 国 \(n\) 个城市的标号从 \(1∼n\)，阿龙决定从 \(1\) 号城市出发，并最终在 \(n\) 号城市结束自己的旅行。

在旅游的过程中，任何城市可以被重复经过多次，但不要求经过所有 \(n\) 个城市。

阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品——水晶球，并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。

因为阿龙主要是来 C 国旅游，他决定这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。

现在给出 \(n\) 个城市的水晶球价格，\(m\) 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况）。

请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。

思路

• 最短路

  一次贸易分为买入和卖出，考虑分两部分处理。

  枚举 \(i\),求出阿龙在 \(1\) 走向 \(i\) 时最少花 \(a_i\) 元买入，在 \(i\) 走向 \(n\) 时最多卖出 \(b_i\) 元，求 \(\max\limits_{1≤i≤n}{b_i-a_i}\) 即可。

  容易想到 \(\rm {DP}\) 求 \(a\)、\(b\)，但图中可能有环，因此 \(\rm{DP}\) 存在后效性。

  在部分情况下最短路算法可替代 \(\rm{DP}\)，因此当 \(\rm{DP}\) 不行时，我们考虑最短路算法。

  同上，\(\rm{Dijkstra}\) 也存在后效性，只能使用 \(\rm{SPFA}\) 处理了。

  建反边跑两次 \(SPFA\)，这道题就解决了。

• 分层图

  这道题和 T3 优惠 的分层图思想差不多。

  定义 \((u,0/1,0/1)\) 代表到达城市 \(u\) 时，是否持有水晶球，是否进行过交易。

  建边分为两类，单纯传递信息和联系不同状态：

  • 传递信息：
  1. \((u,0,0)\) \(->\) \((v,0,0)\)，边权为 \(0\)。
  2. \((u,1,0)\) \(->\) \((v,1,0)\)，边权为 \(0\)。
  3. \((u,0,1)\) \(->\) \((v,0,1)\)，边权为 \(0\)。
  • 联系状态：
  1. \((u,0,0)\) \(->\) \((u,1,0)\)，边权为 \(-w_u\)，表示花费 \(w_u\) 买入一个水晶球。
  2. \((u,1,0)\) \(->\) \((u,0,1)\)，边权为 \(w_u\)，表示卖出水晶球并获得 \(w_u\) 元。

  然后求出 \((1,0,0)\) 到 \((n,0,1)\) 的最短路即可。

代码

• 最短路

  此题给出的是点权而不是边权，需要将点权赋给相连的边。于是，对于 \(e(u,v)\)，令 \(w(u,v)=w_v\)。

  之所以不往前赋值，是因为往前赋值会忽略掉终点（和起点）的点权，处理有些麻烦。而往后赋值只需预处理源点就好了。

  #include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;
  const int N=1e5+5,M=5e5+5,INF=0x3f3f3f3f;
  int n,m,u,v,f,w[N],head[N],head2[N],cnt,cnt2;
  int dis[N],vis[N],dis2[N],vis2[N],ans;
  struct edge{
      int v,nxt,w;
  }e[2*M],e2[2*M];
  void add(int u,int v,int w){
      e[++cnt]={v,head[u],w};
      head[u]=cnt;
  }
  void add2(int u,int v,int w){
      e2[++cnt2]={v,head2[u],w};
      head2[u]=cnt2;
  }
  void insert(int u,int v){
      add(u,v,w[u]);
      add2(v,u,w[v]);
  }
  void SPFA(int k){
      for(int i=1; i<=n;i++){
          dis[i]=114514;
      }
      queue<int>q;
      q.push(k);
      vis[k]=1;
      dis[k]=w[k];
      while(!q.empty())
      {
          k=q.front();
          q.pop();
          vis[k]=0;
          for(int i=head[k]; i;i=e[i].nxt)
          {
              int j=e[i].v;
              if(min(dis[k],e[i].w)<dis[j])
              {
                  dis[j]=min(dis[k],e[i].w);
                  if(vis[j]==0)
                  {
                      q.push(j);
                      vis[j]=1;
                  }
              }
          }
      }
  }
  void SPFA2(int k){
      for(int i=1; i<=n;i++){
          dis2[i]=-114514;
      }
      queue<int>q2;
      q2.push(k);
      vis2[k]=1;
      dis2[k]=w[k];
      while(!q2.empty())
      {
          k=q2.front();
          q2.pop();
          vis2[k]=0;
          for(int i=head2[k]; i;i=e2[i].nxt)
          {
              int j=e2[i].v;
              if(max(dis2[k],e2[i].w)>dis2[j])
              {
                  dis2[j]=max(dis2[k],e2[i].w);
                  if(vis2[j]==0)
                  {
                      q2.push(j);
                      vis2[j]=1;
                  }
              }
          }
      }
  }
  int main(){
      cin>>n>>m;
      for(int i=1; i<=n;i++){
          scanf("%d",&w[i]);
      }
      for(int i=1; i<=m;i++){
          scanf("%d%d%d",&u,&v,&f);
          if(f==2){
              insert(u,v);
              insert(v,u);
          }
          else{
              insert(u,v);
          }
      }
      SPFA(1);
      SPFA2(n);
      for(int i=1; i<=n;i++){
          ans=max(ans,dis2[i]-dis[i]);
      }
      cout<<ans;
      return 0;
  }
  

• 分层图

  分层图真是太强啦！

  #include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;
  const int N=4e5+5,M=4*5e5+5;
  int n,m,u,v,f,head[N],vis[N],cnt;
  int w[N],dis[N];
  queue<int>q;
  struct edge{
      int v,nxt,w;
  }e[2*M];
  void add(int u,int v,int w){
      e[++cnt].v=v;
      e[cnt].w=w;
      e[cnt].nxt=head[u];
      head[u]=cnt;
  }
  inline int id(int u,int p,int pp){
      return (pp+p*2)*n+u;
  }
  void insert(int u,int v){
      add(id(u,0,0),id(v,0,0),0);
      add(id(u,1,0),id(v,1,0),0);
      add(id(u,0,1),id(v,0,1),0);
  }
  void SPFA(int k){
      memset(dis,-0x3f,sizeof(dis));
      q.push(k);
      vis[k]=1;
      dis[k]=0;
      while(!q.empty())
      {
          k=q.front();
          q.pop();
          vis[k]=0;
          for(int i=head[k]; i;i=e[i].nxt)
          {
              int j=e[i].v;
              if(dis[k]+e[i].w>dis[j])
              {
                  dis[j]=dis[k]+e[i].w;
                  if(vis[j]==0)
                  {
                      q.push(j);
                      vis[j]=1;
                  }
              }
          }
      }
  }
  int main(){
      cin>>n>>m;
      for(int i=1; i<=n;i++){
          scanf("%d",&w[i]);
          add(id(i,0,0),id(i,1,0),-w[i]);
          add(id(i,1,0),id(i,0,1),w[i]);
      }
      for(int i=1; i<=m;i++){
          scanf("%d%d%d",&u,&v,&f);
          if(f==1){
              insert(u,v);
          }
          else{
              insert(u,v);
              insert(v,u);
          }
      }
      SPFA(id(1,0,0));
      if(dis[id(n,0,1)]<0){
          cout<<0;
      }
      else{
          cout<<dis[id(n,0,1)];
      }
      return 0;
  }