[闵可夫斯基和] [slope trick] P3642 [APIO2016] 烟花表演

posted on 2025-05-08 12:18:49 | under | source

题意：给出 \(n\) 个点的有根树，边带权，可以花费 \(1\) 的代价使一条边 \(+1\) 或 \(-1\)，求最小代价使得根到所有叶子的距离相等。\(n\le 3\times 10^5\)。

显然有 dp，设 \(f_{i,j}\) 为 \(i\) 子树内叶子距离均为 \(j\) 的代价，转移：

\[f_{u,i}=\sum\limits_{v\in son_u} \min\limits_{0\le j\le i}( f_{v,j}+|c_u-(i-j)|) \]

考虑 slope trick，\(f_u\) 视为函数图象。不妨归纳地认为 \(f_u\) 是一个下凸函数。

转移可以分为两部分，第一部分是儿子向父亲的函数变换，也就是内层的 \(\min,+\) 卷积，那么就是函数 \(f_v\) 和绝对值函数 \(h_v(x)=|c_v-x|\) 的闵可夫斯基和，记为 \(g_v\)。第二部分就是大力相加 \(g_v\)。

大致思路有了，想想具体实现。我们考虑维护函数的拐点，从左往右每个拐点斜率 \(+1\)（此题显然没有浮点数），拐点可以相同以表示斜率不止 \(+1\)。那么对于第二部分，直接合并 \(g_v\) 的拐点即可。

对于第一部分，注意 \(h_v\) 函数定义域在自然数上，左半边有限为 \(c_v\)，而右半边是无限长。所以我们找到 \(f_v\) 斜率为 \(0\) 的部分 \([L,R]\)。那么变换到 \(g_v\)，就在 \(L\) 左边接一个 \(c_v\) 长的斜率为 \(-1\) 的线段，\(R\) 右边的部分推平为斜率为 \(1\)。

上述过程可以这样实现：

• 删去 \(f_v\) 前 \(|son_v|-1\) 大的拐点，此时右边两个拐点即为 \(L,R\)。这是因为 \(f_v\) 的 \(|son_v|\) 个儿子每个都会增加一条斜率 \(1\) 的射线。
• 让 \(L,R\) 均增大 \(c_v\)。

于是用可并堆维护即可，\(O(n\log n)\)。

• 注意：可以认为 \(f_u\) 存在一个为正无穷的拐点，但是不必计入列表中。初始化叶子节点列表为空，相当于认为 \(f_{u,i}=i\)，实际是没有问题的，可以视为延长父边。

代码

灰常好写，细节也没有。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
const int N = 3e5 + 5;
int n, m, p[N], c[N], cs, sn[N], ans;

namespace ZPS{
    struct node{int ls, rs, d, x;} t[N << 1];
    int tot, rot[N];

    inline int newnode(int x) {++tot; t[tot] = {0, 0, 0, x}; return tot;}
    inline void psup(int u){
        if(t[t[u].ls].d < t[t[u].rs].d) swap(t[u].ls, t[u].rs);
        t[u].d = t[t[u].rs].d + 1; 
    }
    inline int mer(int x, int y){
        if(!x || !y) return x + y;
        if(t[x].x < t[y].x) swap(x, y);
        t[x].rs = mer(t[x].rs, y);
        psup(x);
        return x;
    }
    inline int del(int x) {return mer(t[x].ls, t[x].rs);}
}using namespace ZPS;
signed main(){
    cin >> n >> m;
    for(int i = 2; i <= n + m; ++i) scanf("%lld%lld", &p[i], &c[i]), ++sn[p[i]], ans += c[i];
    for(int i = n + m; i > 1; --i){
        int L = 0, R = 0;
        if(i <= n){
            while(--sn[i]) rot[i] = del(rot[i]);
            R = t[rot[i]].x, rot[i] = del(rot[i]);
            L = t[rot[i]].x, rot[i] = del(rot[i]); 
        }
        rot[i] = mer(rot[i], newnode(L + c[i]));
        rot[i] = mer(rot[i], newnode(R + c[i]));
        rot[p[i]] = mer(rot[p[i]], rot[i]);
    }
    while(sn[1]--) rot[1] = del(rot[1]);
    while(rot[1]) ans -= t[rot[1]].x, rot[1] = del(rot[1]);
    cout << ans; 
    return 0;
}