[决策单调性] P1912 [NOI2009] 诗人小G

posted on 2024-05-30 08:40:10 | under | source

令 \(L=l+1\)，\(s_i=i+\sum\limits_{j\le i} a_i\)。

容易写出转移：\(f_i=\min(f_j+|s_i-s_j-L|^p)\)。

定义决策函数 \(g_{j}(i)=f_j+|s_i-s_j-L|^p\)。

然后 \(g_j\prime(i)\) 必然是单增的，且 \(g_j(i)\) 为一个下凸包，顶点坐标为 \((s_j+L,0)\)，所有顶点在 \(x\) 轴上且横坐标递增。

因此，两个 \(g\) 函数的交点数至多为 \(1\)，\(f\) 满足决策单调性。