[建图] CF986C AND Graph

posted on 2024-04-08 06:08:22 | under | source

无敌建图题。

如果接触过 \(\rm SOSdp\) 之类与子集有关的东东，那么看到 \(a \& b=0\)，便可想到转换为子集的形式：\(b \in \neg a\)。

思考怎么将枚举子集表现在图上。发现让每个点 \(u\)，向所有是 \(u\) 子集且只比 \(u\) 少一位 \(1\) 的点连有向边即可。这样从 \(u\) 出发就恰好遍历了其所有子集。

为了体现 \(\neg a\)，还需让 \(a\to \neg a\) 连边。问题解决了吗？没有，因为题目还限定了部分点无法访问，如果直接跳过的话不一定能遍历到所有子集。

于是建立分层图，将“枚举子集”这部分的图单独拎出来，记原图为 \(A\)，新图为 \(B\)。按照此规则连边：

\(A(u)\to B(\neg u)\)。准备进入 \(B\) 枚举子集。

\(B(u)\to B(v)\)。\(v\) 满足只比 \(u\) 少一个 \(1\)。开始在 \(B\) 中枚举。

\(B(u)\to A(u)\)。最后返回 \(A\)，于是实现了 \(u\) 和 \(u\&v=0\) 的 \(v\) 之间连通。

代码

其实一个 bool 数组就够了，然后用 bitset 优化复杂度。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1 << 22, MA = N - 1;
int n, m, a[N + 5], ans; 
bitset<N << 1> vis; 

inline void dfs(int u){
	if(vis[u]) return ;
	vis[u] = 1;
	if(u < N) dfs((MA ^ u) + N);
	else{
		dfs(u - N);
		for(int i = 0; i < 22; ++i) if(((u - N) >> i) & 1) dfs(u - (1 << i));
	}
}
int main(){
	cin >> n >> m;
	for(int i = 0; i < N; ++i) vis[i] = 1;
	for(int i = 1; i <= m; ++i) scanf("%d", &a[i]), vis[a[i]] = 0;
	for(int i = 1; i <= m; ++i) if(!vis[a[i]]) ++ans, dfs(a[i]);
	cout << ans;
	return 0;
}