[构造] P9837

posted on 2023-11-12 06:33:18 | under 题集 | source

牛马构造题。

思路

首先应想到：

• 无序二元组数量 \(=\frac {n(n-1)}2=\) 金字塔相邻位置总数。所以可将题意转化为：让这 $ \frac {n(n-1)}2$ 个无序二元组不重不漏地出现。

• 无序二元组中，相差为 \(i\) 的二元组数量 \(=i-1=\) 金字塔第 \(i\) 行相邻位置总数。

结合上述几点，可以想到去构造第 \(i\) 行刚好有 \(i-1\) 个相差为 \(i\) 的二元组。不过这样行不通，难以满足一行内元素不重。

注意到题目对列的限制很松，尝试围绕列构造。由于金字塔是对称的，因此也有：相差为 \(i\) 的二元组数量 \(=\) 第 \(i\) 列相邻位置总数。注意此处所说第 \(i\) 列是实际的第 \(i\) 到第 \(i+1\) 列。

那么再回到行。构造思路如下：令第 \(i\) 行的第 \(j\) 个二元组相差 \(j\)，\(j\) 每次递增 \(1\)。

至此问题被简化，可以加减交替构造：

\(i\to i+1 \to i-1 \to i+2\to i-2...\)

于是对每个 \(i\) 都这样构造（元素超出边界就停止），最后按长度排序并输出即可。

当然，这道题也可转化为图论模型（ducati 讲的）：让所有点都相互连边，用长度分别为 \(0,1...n-1\) 的链恰好遍历每条边一次，且链的开头不一样。构造思路和上文差不多。