[反悔贪心] [dp] P8352 [SDOI_SXOI2022] 小 N 的独立集

posted on 2024-05-15 05:18:53 | under | source

题解只有 \(\rm dp\) 套 \(\rm dp\) 做法？来补充下丑陋的 \(\rm dp\) 套反悔贪心方法。

显然，定义 \(f_{u,i}\) 表示 \(u\) 子树、最大权独立集为 \(i\) 的情况数。那么第二维怎么定义呢？

最大权独立集可以 \(\rm dp\) 解决，尝试再套个 \(\rm dp\) 解决。

但是 \(\rm dp\) 是以顶部取不取为状态，但是“取不取”是人为决定的，而我们要求的是不同树的种类数，似乎不太好处理重复情况。

总之，蒟蒻太菜了，不会 \(\rm dp\) 套 \(\rm dp\)，至此走上一条歪路。

众所周知，反悔贪心也能解决最大权独立集。具体来说，令 \(g_i\) 表示由取 \(i\to\) 不取 \(i\) 的代价。然后对于 \(u\)，令 \(res=\sum\limits_{v\in son_u} g_v\)，若 \(a_u\ge res\) 则取 \(u\)，\(g_u=a_u-res\)；反之不取 \(u\)，\(g_u=0\)。

显然不同树的 \(g\) 是唯一确定的。同时 \(g_u\) 只有 \(\le a_u\) 才有意义，且 \(g_u\) 不可能为 \(0\)，这是可以归纳验证的。总之 \(0\le g\le a\)。

注意到 \(a_u\le k\)，\(k\) 非常小，所以以 \(g\) 为第二维。定义 \(f_{u,i,j}\) 表示 \(u\) 子树、最大权独立集为 \(i\)、\(g_u=j\) 时的情况数。

转移是容易的。可以先不考虑 \(a_u\) 填什么，计算出 \(f_{u,i,j}\)。然后枚举 \(a_u\)，按照反悔贪心过程转移就好啦。

复杂度 \(O(n^2k^4)\)。

卡常注意事项：

1. 注意卡好循环上界；特判到 \(0\) 直接跳过；

2. 可以稍微更改下 \(f\) 定义，一开始就把 \(a_u\) 考虑进来。

魔改完代码后发现和 \(\rm dp\) 套 \(\rm dp\) 做法极其相似！

看了看，发现另一种做法的状态优化思路和反悔贪心貌似有着异曲同工之妙。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ADD(a, b) a = (a + (b)) % mod
const int N = 1e3 + 5, K = 5, mod = 1e9 + 7;
int n, k, u, v;
int siz[N], f[N][N * K][K + 1], G[N][N * K][K + 1];
vector<int> to[N];

inline void dfs(int u, int fa){
	siz[u] = 1; 
	for(int uk = 1; uk <= k; ++uk) f[u][uk][uk] = 1;
	for(auto v : to[u])
		if(v ^ fa){ 
			dfs(v, u);
			for(int j = 0; j <= siz[u] * k; ++j) 
				for(int p = 0; p <= k; ++p) G[u][j][p] = f[u][j][p], f[u][j][p] = 0;
			for(int j = 0; j <= siz[v] * k; ++j)
				for(int p = 0; p <= k; ++p)
					if(f[v][j][p])
						for(int j2 = 0; j2 <= siz[u] * k; ++j2)
							for(int p2 = 0; p2 <= k; ++p2)
								ADD(f[u][j + j2 - min(p, p2)][max(0, p2 - p)], 1ll * f[v][j][p] * G[u][j2][p2] % mod);
			siz[u] += siz[v];
		}
}
signed main(){
	cin >> n >> k;
	for(int i = 1; i < n; ++i) scanf("%d%d", &u, &v), to[u].push_back(v), to[v].push_back(u);
	dfs(1, 0);
	for(int i = 1; i <= n * k; ++i){
		int res = 0;
		for(int p = 0; p <= min(i, k); ++p) ADD(res, f[1][i][p]);
		printf("%d\n", res);	
	}
	return 0;
}