[MST] [转化] P9531 [JOISC 2022] 复兴计划

posted on 2025-04-22 05:02:36 | under | source

题意：给 \(n\) 个点 \(m\) 条边的简单无向图，\(q\) 次询问，每次给一个 \(y\)，求边权为 \(w_i=|x_i-y|\) 时 MST 权值和？\(n\le 5\times 10^2,m\le 10^5,q\le 10^6\)。

考虑利用绝对值函数的性质，单独计算每一条边的贡献。

考虑 kruskal 的过程，那么当前边可以产生贡献，当且仅当排序中排在它前面的边构成的子图中，该边两端点不在同一连通块。

不妨将其余边按照与 \(x_i\) 的大小关系分类，称为左部边和右部边。先考虑 \(y<x_i\) 的情况，首先右部边不会参与竞争，考虑左部边，随着 \(y\) 从 \(x_i\) 开始变小，边集不断变大，某个时刻两端点连通。那么确定左端点。右部边的情况是对称的，得到右端点。

处理出贡献区间后，答案是容易计算的。分讨取值然后扫描线即可。

将 \(x_i\) 排序后，动态维护前缀的最大生成树（边权为其排位）（最大生成树是因为最小边最大）。假如存在 \(u\to v\) 路径，将其与最小边替换并计算左端点（和最小边右端点）。那么 LCT 可以做到 \(O(m\log n)\)。

实际上直接暴力加边复杂度是 \(O(mn)\) 的。证明就考虑上述维护最大生成树的过程，假如一开始全用 \(0\) 权边连起来，那么一次产生当前边减最小边的贡献。总共就是最大生成树边权，\(O(mn)\)。