[kruskal重构树] P6765 [APIO2020] 交换城市

posted on 2025-05-06 13:59:13 | under | source

题意：\(n\) 点 \(m\) 边无向连通图，边有边权。\(q\) 次询问，给两个点 \(x,y\)，你需要让两辆车分别从 \(x,y\) 出发，要求任意时间不能在同一边或点上，可以原地等待，不要求简单路径，求经过的最大边权最小？\(n\le 10^5,m,q\le 2\times 10^5\)。

因为对路径没什么要求，所以用连通块（所有经过的边）的视角来看。不难发现，一个连通块合法当且仅当它不是链。合法必然存在三度点或环，容易构造方案。

考虑枚举答案 \(c\)，边越多越好，所以将所有 \(\le c\) 的边都加入，判断是否是链即可。

容易想到 kruskal 重构树，但是要稍微改一改，因为有些边不能被忽略：

• 当前边两端不连通：若其一非链，则非链；反之，是链当且仅当连接了两端点。
• 当前边两端连通：显然一定非链。当原来是链转化为非链则新建点作为当前连通块对应点的父亲。均摊正确。

修改后的做法是没错的，相当于在原树上的某些边上插入新的点，所以不影响我们求 \(lca\)。

查询就从 \(lca\) 往上跳到第一个非链节点，\(O((n+q)\log n)\)。

当然，你甚至可以直接让新点连向连通块上所有叶子，就不用查询时倍增了。