[Hall定理] [破环为链] CF981F Round Marriage

posted on 2024-07-16 03:00:48 | under | source

显然二分答案，转化为判定性问题。

那么对于验证 \(k\)，考虑让新郎 \(a_i\) 向所有可以匹配的新娘连边，那么 \(k\) 合法，当且仅当建出的二分图有完美匹配。

考虑 \(\rm Hall\) 定理，首先将 \(a,b\) 排序，尽量让 \(a_i\) 管辖的 \(b\) 构成一段连续区间。

不过这是环，所以我们需要破环成链。注意一下，假设第 \(p\) 份表示将原数组复制然后每一项加 \(p\times L\)，那么应该选择第 \(2,3\) 份 \(a\) 和 \(1,2,3,4\) 份 \(b\)，才能表示出所有情况。这很重要。

于是现在 \(a_i\) 管辖 \([L_i,R_i]\)，贪心地，必然是选择一段连续的 \(a_i\) 才能更劣，判定 \([i,j]\) 即为：\(j-i+1\le R_j-L_i+1\)，移项得 \(L_i-i\le R_j-j\)，扫描一遍即可。

然后有两个细节：

1. 假如 \([L,R]\) 覆盖的 \(b\) 出现重复元素（对应原序列而言）：此时必然已经覆盖了原 \(b\) 序列一遍，肯定多于 \(a\) 的数量，所以不用考虑。

2. 假如 \(a\) 中 \([i,j]\) 实际覆盖的 \(b\) 并不连续，即存在某个 \(b\) 不被任何 \(a\) 覆盖：那么设其为 \(b_{pos}\)，那么必然有一个 \(a\) 多出来；反向思考，对于 \(b_1\dots b_{pos-1}\) 和 \(b_{pos+1}\dots b_n\)，必然存在一者使得对应的 \(a\) 数量小于 \(b\) 数量，就不满足 \(\rm Hall\) 定理了。所以一定非法，无需特判。

有些抽象。

二分查找 \(L_i,R_i\)，复杂度 \(O(n\log n\log V)\)。双指针代替可做到 \(O(n\log V)\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
const int N = 1e6 + 5, inf = 1e10;
int n, len, a[N], b[N];

inline bool check(int p){
	int mx = -inf;
	for(int i = n + 1; i <= 3 * n; ++i){
		int l = lower_bound(b + 1, b + 1 + 4 * n, a[i] - p) - b, r = upper_bound(b + 1, b + 1 + 4 * n, a[i] + p) - b - 1;
		if(l > r) return false;
		if(mx > r - i) return false;
		mx = max(mx, l - i);
	}
	return true; 
}
signed main(){
	cin >> n >> len;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%lld", &a[i]);
	for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%lld", &b[i]);
	sort(a + 1, a + 1 + n), sort(b + 1, b + 1 + n);
	for(int i = n + 1; i <= 4 * n; ++i) a[i] = a[i - n] + len, b[i] = b[i - n] + len;
	int L = -1, R = 1e9 + 5;
	while(L + 1 < R){
		int mid = L + R >> 1;
		if(check(mid)) R = mid;
		else L = mid; 
	}
	cout << R;
	return 0;
}