[dp优化] CF1582F2

posted on 2023-11-08 11:22:48 | under 未分类 | source

题意

给出序列 \(a\)，求它的所有递增子序列的异或和？

\(n\le 1e6,0\le a\le5000\)

思路

值域很小，那很容易有一个 \(O(nv)\) 的暴力。\(f_i\) 记录异或和为 \(i\) 时的最小结尾，大力转移即可。再上些玄学优化便通过了考场数据。

然后考虑优化。发现这个状态定义太 fw 了，异或值不是呈区间的形态分布的。

故考虑修改状态，加上 结尾元素 这一维，定义 \(f_{i,j}\) 表示结尾元素 \(<i\) 且异或和为 \(j\) 的子序列是否存在。朴素复杂度 \(O(nv^2)\)，但貌似很能优化。

然后很容易发现，当同一个 \(a\) 多次出现时，有些 \(f_{a,j}\) 会被遍历多次，显然只需遍历一次即可。

那么有优化思路：开动态数组 \(b_a\) 记录 \(j\)，每次对 \(a\) 操作完后直接清空即可。复杂度均摊正确。

接着考虑优化转移：\(\forall p>a,a \to f_{p,a\bigoplus j}\)

不难发现这是个后缀。那么为了避免标记重复的 \(p\)，可以考虑 \(r_j\) 表示下次标记时直接从 \(f_{r_j,p}\) 开始即可。复杂度均摊正确。

那么优化后 \(O(nv^2)\to O(n+v^2)\)，可以通过。

此题很好体现了 及时删去重复状态 的优化思路。

小 trick 记录：

• 转移式与后缀有关时可以仿照此题开 \(r\) 数组。

• 及时更换状态表示，使其容易优化。