[dp] [数据结构] P3287 [SCOI2014] 方伯伯的玉米田

posted on 2023-10-24 09:06:42 | under 题集 | source

题意

传送门

给出一个序列，你可以选取任意一段区间并加 \(1\)，至多进行 \(k\) 次操作。求所有操作后的最长不下降序列长度？

思路

硬做显然不可行，不妨先看看每次操作 \([l,r]\)：

• 设区间 \([s,t]\) 最长不下降序列长度为 \(A[s,t]\)。
• 操作前后 \(A[l,r]\) 不变。
• 操作前后 \(A[1,r]\) 不减、\(A[l,n]\) 不增。
• 所以操作 \([l,r]\) 一定劣于操作 \([l,r+1]\)。

于是有结论：最优解中，每次操作的右端点一定为 \(n\)。这样就能 \(\rm dp\) 了。

（证明不是特别严谨）

那么设 \(f_{i,ki}\) 表示到 \(i\) 位时，已经拔高 \(ki\) 次，最长不下降序列长度。

朴素 \(\rm dp\)：暴力进行转移，对于所有 \(j<i\) 且 \(a_j + kj \le ai+ki\)，\(f_{i,ki} = \max(f_{j,kj} + 1)\)。

可恶的出题人不给一点暴力分

考虑优化：显然，决策集合的元素只增不减，那么考虑维护该集合即可加速转移，可以用二维树状数组实现。

注意树状数组的 \(k\) 值域需整体右移一位，因为有 \(0\)。

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