[CSPS 2022记录] [图论] [随机化] 星战

posted on 2023-08-20 14:33:13 | under 题集 | source

题意

冗长的题意是做这道题的第一个难关。

简化后的题意是这样的：（不想码字了， 摘自题解）

\(n\) 个点 \(m\) 条边的有向图，每条边都有激活和失活两种状态，初始时均为激活状态。四种操作：

1. 失活某条边；
2. 失活以某个点为终点的所有边；
3. 激活某条边；
4. 激活以某个点为终点的所有边。

然后问：如果只考虑激活的边，是否同时满足：

1. 所有的点出度均为 \(1\)；
2. 所有的点都满足，从这个点出发，可以走到一个环中。

思路

先从 可以反攻的条件 入手，容易发现 \(\rm{1}\) 是 \(\rm{2}\) 的充要条件。

回顾欧拉回路的条件：每个点的出度与入度相等。又因为 所有点出度均为 \(1\) \(\to\) 所有点入度都为 \(1\)，那么由定义可知满足条件 \(1\) 意味着这个图是欧拉回路，也就是环了。

题目到这已经做完一大半了，直接暴力维护所有点出度就有 \(40\)，结合性质可以拿到 \(50\)、\(60\) 分。

但我们的目标是满分！我们发现满足条件的图的形态大多一致，那么结合哈希的思想，动态维护每个图的哈希值，再与满足条件的图的哈希值对比，若一致则说明此时 大概率 可以反攻。

当然哈希函数的构造有很多，介绍一种（对于本题而言）容易实现的构造：

先预先为每个点 \(i\) 赋值 \(val_i\)，定义点 \(v\) 的哈希值 \(h_v=\sum val_{u_i}\)，其中 \(u_i\) 满足存在一条被激活的边 \(e(u_i,v)\)。

那这个图的哈希值就是 \(\sum h_i\)。

而且我们发现，\(val_i\) 的值变化多端，所以很难卡掉。

沿着这个思路写，我们又发现维护出度不太好搞，但维护入度相对简单，这是因为操作 \(2,4\) 关注的是以每个点为终点的边，自然而然能想到维护入度。

同时，由上面的分析我们得知维护入度等价于维护出度，在正确性方面也是没错的。

于是正解思路呼吁而出：

先随机赋值 \(val_i\)，则该图可以反击的形态的哈希值 \(bef=\sum val_i\)，并记录原图每个点的哈希值 \(in_i\)、原图的哈希值 \(now\)。

为了方便实现，还需定义 \(ru_i\) 为每个点的哈希值，但这个值是随操作动态维护的。

• 对于操作 \(1\)：\(now-val_u\)，\(ru_v-val_u\)。

• 对于操作 \(2\)：\(now-ru_u\)，\(ru_u=0\)。

• 对于操作 \(3\)：\(now+val_v\)，\(ru_v+val_u\)。

• 对于操作 \(4\)：\(now+(in_u-ru_u)\)，\(ru_u=in_u\)（先将 \(u\) 完全摧毁，再修复，这样可避免重复计算）。

最终判断 \(now=bef\) 即可。

代码

真的很好写，可能是思维方面比较难想，建议降蓝。

贴上我丑陋的代码~

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N=5e5+5,K=1e7+5;
int n,m,q,t,u,v;
int in[N],ru[N],val[N],bef,now;
signed main()
{
	srand(time(0));
	cin>>n;
	for(int i=1; i<=n;i++){
		val[i]=rand()%K;
		bef+=val[i];
	}
	cin>>m;
	for(int i=1; i<=m;i++){
		scanf("%lld%lld",&u,&v);
		ru[v]+=val[u]; in[v]+=val[u];
		now+=val[u];
	}
	cin>>q;
	for(int i=1; i<=q;i++){
		scanf("%lld%lld",&t,&u);
		if(t==1||t==3){
			scanf("%lld",&v);
		}
		if(t==1){
			now-=val[u];
			ru[v]-=val[u];
		}
		if(t==2){
			now-=ru[u];
			ru[u]=0;
		}
		if(t==3){
			now+=val[u];
			ru[v]+=val[u];
		}
		if(t==4){
			now+=in[u]-ru[u];
			ru[u]=in[u];
		}
		if(now==bef){
			printf("YES\n");
		}
		else{
			printf("NO\n");
		}
	}
	return 0;
 }