[2025-2] czz 好题初中

posted on 2025-02-12 07:26:01 | under | source

T1 最短路径

题意：给一张 \(n\) 点有向图，任意两点有边。\(q\) 次询问 \(s,t,p\)，问废掉 \(p\) 后 \(s\to t\) 最短路。\(n\le 5e2,q\le 5e5\)。

题解：floyd 每次加一个新点 \(O(n^2)\) 即可维护。考虑用分治减少重复运算，具体的，令分治树上 \([L,R]\) 表示不考虑区间的点的最短路信息，计算一点时只需继承父亲并加入兄弟信息即可。\(O(n^3\log n)\)。

T2 Dominating Point

题意：给一张竞赛图，求出三个点，每个点满足可以不超过 \(2\) 步到达其它 \(n-1\) 个点。\(n\le 5e3\)。

题解：注意到出度最大的点一定满足条件，反证即可。记它为 \(u\)，\(S\) 为 \(u\) 一步到达的点、\(S^{\prime}\) 反之。\(S^{\prime}\) 为空无解，其中的点可以到达 \(S,u\)。于是只考虑其内部即可。记 \(v\) 为度数最大，如法炮制找最后一个点即可。假如不存在，意味着 \(v\) 可以一步到达 \(S^\prime\)。\(S^\prime\) 的其他点显然不行（到不了 \(v\)）。考虑 \(S\)，分为 \(S_1,S_2\) 分别满足可以、不可以一步到达 \(v\)。\(S_1\) 为空无解。\(S_1\) 的点可以一步到达 \(v\) 从而到达 \(u,S^\prime,S_2\)，只考虑内部找最大点即可。\(O(n^2)\)。

T3 Tree equation

题意：定义树的运算：\(A+B\) 为将两树的根连接，\(AB\) 为将 \(A\) 的每个点换成 \(B\)（根为原来点）。已知 \(A,B,C\)，求解 \(AX+BY=C\)。\(|A|,|B|,|C|\le 2e6\)。

题解：先考虑 \(AX=C\)，只需找到一个大小为 \(|X|\) 的子树即可。现在有了加法不好判定，但是可以发现 \(C\) 最大儿子子树一定是 \(A\) 最大儿子子树乘 \(X\) 或 \(B\) 的乘 \(Y\)。不失一般性地假设是 \(A\) 的，即可找出 \(X\)，然后做树哈希去掉 \(AX\)，最后解 \(BY=C\) 即可。可以 \(O(n)\)。感觉细节有点多？

T4 崎岖（AT 原题 >=k）

题意：一个序列合法 \(x\) 当且仅当 \(\forall x_i+x_{i+1}\ge k\)，给定可重序列 \(a_1\dots a_n\)，求将其重排后合法序列数量。\(n\le 2e5\)。

题解：唯一做出的题 qwq。考虑经典套路：将以 \(\frac k2\) 为标准，将数分为 \(< \frac k2\) 和 \(\ge \frac k2\) 的数（\(01\)），并按 \(|a_i-\frac k2|\) 排序。假如是小到大排（相同优先 \(0\)），那么一个 \(0\) 无论插哪都非法，\(1\) 插哪都合法，做排列 dp 容易多项式科技优化至 \(O(n\log ^2n)\)。但是假如大到小排，那么必须保证当前序列合法（因为后面插入无法改变非法）。所以维护当前合法位置数量 \(s\)，每次插入 \(0\) 就消耗一个将它们绑定，于是就容易 \(O(n)\) 了。

T5 挑战大模型（洛谷同名）

题意：给两个矩阵 \(A,B\)，对每个 \(k\) 求出面积最大的一个子矩阵，满足将 \(A\) 中该矩阵左平移 \(k\) 步（原先空位随意填）后和 \(B\) 相同。

题解：考虑刻画限制：包含所有 \(A,B\) 不同的位置、以及每个位置平移后与 \(B\) 相同（标记为 \(1\)）。发现求极大 \(1\) 矩阵即可。

T6 一棵树（洛谷同名）

题意：给一棵树染色，染恰好 \(k\) 个黑色点，定义一种方案的权值为分别将每条边断掉后两边黑点数量之差的和，求最大权值。

题解：容易树形 dp，记 \(f_{u,i}\) 为 \(u\) 子树内恰好染 \(i\) 个黑色的权值，转移 \(f_{u,i}+f_{v,j}+|2k-j|\)，闵可夫斯基和即可优化为 \(O(n\log n)\)。