导数及其应用
导数
求导法则
基本初等函数求导
常函数：\(f(x)=c,f'(x)=0\)。
幂函数：\(f(x)=x^n,f'(x)=n\cdot x^{n-1}\)。
三角函数：\(f(x)=\sin x,f'(x)=\cos x\)
\(f(x)=\cos x,f'(x)=-\sin x\)。
指数函数：\(f(x)=a^x,f'(x)=a^x\ln a\)。特殊地，\(f(x)=e^x,f'(x)=e^x\)。
对数函数：\(f(x)=\log_{a}x,f'(x)=\dfrac{1}{x\ln a}\)。特殊地，\(f(x)=\ln x,f'(x)=\dfrac{1}{x}\)。
四则运算
\((f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)\)
\((f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\)
\((f(x)\cdot g(x)\cdot h(x))'=f'(x)\cdot g(x)\cdot h(x)+f(x)\cdot g'(x)\cdot h(x)+f(x)\cdot g(x)\cdot h'(x)\)
\((\dfrac{f(x)}{g(x)})'=\dfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g(x)^2}(g(x)\ne0)\)
复合函数求导
\(y=f(u),u=g(x),y'=f'(u)\cdot g'(x)\)
对称性分析
若 \(f(x)\) 关于直线 \(x=a\) 对称，则 \(f'(x)\) 关于点 \((a,0)\) 对称。
若 \(f'(x)\) 关于点 \((a,f'(a))\) 对称，则 \(f(x)\) 关于直线 \(x=a\) 对称。
若 \(f(x)\) 关于点 \((a,f(a))\) 对称，则 \(f'(x)\) 关于直线 \(x=a\) 对称。
若 \(f'(x)\) 关于直线 \(x=a\) 对称，则 \(f(x)\) 关于点 \((a,f(a))\) 对称。
几何意义
\(f(x)\) 在点 \((x_0,f(x_0))\) 处的切线方程为 \(y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\)（点斜式方程），点 \((x_0,f(x_0))\) 即为切点。
若求 \(f(x)\) 过点 \((a,b)\) 处的切线方程，先假设切点为 \((x_0,f(x_0))\)，则有 \(f'(x_0)=\dfrac{f(x_0)-b}{x_0-a}\)，即可求出 \(x_0\)。
几个常用函数图像
\(f(x)=xe^x\)
零点坐标 \((0,0)\)，极（最）小值点坐标 \((-1,-\dfrac1e)\)
\(g(x)=x\ln x\)
极（最）小值点坐标 \((\dfrac1e,-\dfrac1e)\)
\(p(x)=\dfrac{e^x}{x}\)
渐近线 \(x=0\)，极小值点坐标 \((-1,-\dfrac1e)\)
\(q(x)=\dfrac{\ln x}{x}\)
零点坐标 \((1,0)\)，极（最）大值点坐标 \((e,\dfrac1e)\)
\(s(x)=\dfrac{x}{e^x}\)
零点坐标 \((0,0)\)，极（最）大值点坐标 \((1,\dfrac1e)\)
\(t(x)=\dfrac{x}{\ln x}\)
渐近线 \(x=1\)，极小值点坐标 \((e,e)\)
各类例题
分类讨论
虽然初中就开始学，但分类讨论一直是数学的一大重点。
例 1
若 \(f(x)=ax-\dfrac{a}{x}-2\ln x\)，讨论 \(f(x)\) 的单调性。
解：
\(\begin{array}{l} f'(x)&=a+\dfrac{a}{x^2}-\dfrac{2}{x}\\ &=\dfrac{ax^2-2x+a}{x^2} \end{array}\)
令 \(g(x)=ax^2-2x+a\)
<1> 当 \(a=0\) 时
\(g(x)=-2x\)
\(x\in (0,+\infty),g(x)<0,f'(x)<0,f(x)\) 单调递减。
<2> 当 \(a<0\) 时
-
当 \(\Delta \le 0\) 时，即 \(a\le-1\)
\(g(x)\le0\) 恒成立
\(\therefore f'(x)\le 0,f(x)\) 单调递减。
-
当 \(\Delta>0\) 时，即 \(a\in(-1,0)\)
\(g(x)=0,ax^2-2x+a=0\)
由韦达定理：
\(x_1+x_2=\dfrac{2}{a}<0\)
\(x_1 x_2=1>0\)
故 \(x\in(0,+\infty),g(x)<0\) 恒成立，\(f'(x)<0,f(x)\) 单调递减。
<3> 当 \(a>0\) 时
-
当 \(\Delta \le 0\) 时，即 \(a\ge 1\)
\(\therefore g(x)\ge0,f'(x)\ge0,f(x)\) 单调递增。
-
当 \(\Delta>0\) 时，即 \(a\in(-1,0)\)
\(g(x)=0,ax^2-2x+a=0\)
由韦达定理：
\(x_1+x_2=\dfrac{2}{a}>0\)
\(x_1 x_2=1>0\)
解得 \(x=\dfrac{1\pm\sqrt{1-a^2}}{a}\)
\(\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x&(0,\frac{1-\sqrt{1-a^2}}{a})&\frac{1-\sqrt{1-a^2}}{a}&(\frac{1-\sqrt{1-a^2}}{a},\frac{1+\sqrt{1-a^2}}{a})&(\frac{1+\sqrt{1-a^2}}{a})&(\frac{1+\sqrt{1-a^2}}{a},+\infty)\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+\\ \hline f(x)&\uparrow&\text{极大}&\downarrow&\text{极小}&\uparrow\\ \hline \end{array}\)
综上所述，当 \(a\in(-\infty,0]\) 时，\(f(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 上单调递减；当 \(a\in(0,1)\) 时，\(f(x)\) 在 \((\frac{1-\sqrt{1-a^2}}{a},\frac{1+\sqrt{1-a^2}}{a})\) 上单调递减，在 \((0，\frac{1-\sqrt{1-a^2}}{a}),(\frac{1+\sqrt{1-a^2}}{a}，+\infty)\) 上单调递增；当 \(a\in[1,+\infty)\) 时，\(f(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 上单调递增。
因式分解
当某些导函数可以用提公因式或十字相乘等进行因式分解时，导函数的正负判断将会很简单。
例 2
已知 \(f(x)=ae^{2x}+(a-2)e^x-x\)，
(1)讨论 \(f(x)\) 的单调性；
(2)若 \(f(x)\) 有两个零点，求 \(a\) 的范围。
(1) 解：
\(\begin{array}{l} f'(x)&=2ae^{2x}+(a-1)e^x-1\\ &=(2e^x+1)(ae^x-1) \end{array}\)
显然 \(2e^x+1>0\) 恒成立
<1> 当 \(a\le0\) 时，易得 \(f'(x)<0\) 恒成立
<2> 当 \(a>0\) 时
\(f'(x)>0,ae^x-1>0,x>\ln{\dfrac{1}{a}}\\ f'(x)<0,ae^x-1<0,x<\ln{\dfrac{1}{a}}\)
综上，\(a\le0\) 时，\(f(x)\) 在 \(R\) 上单调递减；\(a>0\) 时，\(f(x)\) 在 \((-\infty,\ln{\dfrac{1}{a}})\) 上单调递减，在 \((\ln{\dfrac{1}{a}}，+\infty)\) 上单调递增。
(2) 解：
\(f(x)\) 有两个零点，显然 \(a>0\)
\(\begin{array}{l} \therefore f(x)_{\min}=f(\ln{\dfrac{1}{a}})<0\\ \therefore ae^{2\ln{\frac{1}{a}}}+(a-2)e^{\ln{\frac{1}{a}}}-\ln{\frac{1}{a}}<0\\ \therefore \ln{\frac{1}{a}}>1-\dfrac{1}{a} \end{array}\)
令 \(t=\dfrac{1}{a},\therefore \ln t>1-t\)
\(t>1,\dfrac{1}{a}>1,0<a<1\)
故 \(a\in (0,1)\)。
分参
大多数的恒（能）成立问题都可以分参做。
例 3
已知 \(f(x)=ax-\dfrac{a}{x}-2\ln x\)，若 \(f(x)\) 在 \([1,+\infty)\) 上单调，求 \(a\) 的取值范围。
解：
\(f'(x)=\dfrac{ax^2-2x+a}{x^2}\)
\(f(x)\) 在 \([1,+\infty)\) 上单调，则 \(f'(x)\le0\) 或 \(f'(x)\ge0\) 恒成立。
整理得 \(a\le\dfrac{2x}{x^2+1}\) 或 \(a\ge\dfrac{2x}{x^2+1}\) 恒成立。
令 \(g(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}=\dfrac{2}{x+\frac{1}{x}}\)
则 \(a\le g(x)_{\min}\) 或 \(a\ge g(x)_{\max}\)
\(g'(x)=\dfrac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}\)
\(g'(x)=0,x=\pm1\)
\(g(x)_{\max}=g(1)=1\)
\(x\to0,g(x)\to0\)
\(x\to+\infty,g(x)\to0\)
则 \(g(x)_{\min}>0\)
故 \(a\in(-\infty,0]\cup[1,+\infty)\)
图像及特殊值
某些时候，结合函数图像能够更好地解决问题（如上）。
例 4-1
\(f(x)=(kx-2)e^x-x(x>0)\)，已知 \(f(x)<0\) 的解集为 \((s,t)\)，若 \((s,t)\) 中恰有 \(2\) 个整数，求 \(k\) 的取值范围。
解：
\((kx-2)e^x-x<0\)
\(k<e^{-x}+\dfrac{2}{x}\)
令 \(g(x)=e^{-x}+\dfrac{2}{x}\)
显然 \(g(x)\) 单调递减
\(x\to 0,g(x)\to +\infty\)
\(x\to +\infty,g(x)\to 0\)
显然 \(s=0\)，则有 \(t\in(2,3]\)
带入得 \(k\in[e^{-3}+\dfrac23,e^{-2}+1)\)
例 4-2
若 \(ae^x(x+3)-x-2<0(a<1)\) 恰有两个整数解，求 \(a\) 的取值范围。
\(ae^x(x+3)-x-2<0\)
\(a(x+3)<\dfrac{x+2}{e^x}\)
令 \(f(x)=a(x+3),g(x)=\dfrac{x+2}{e^x}\)
即 \(f(x)<g(x)\)
\(g'(x)=\dfrac{-x-1}{e^x}\)
\(\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x&(-\infty,-1)&-1&(-1,+\infty)\\ \hline f'(x)&+&0&-\\ \hline f(x)&\uparrow&\text{极大}&\downarrow\\ \hline \end{array}\)
有 \(g(-2)=0,g(-1)=e,g(0)=2,f(-3)=0\)
\(x\to \infty,g(x)\to 0\)
显然，\(f(x)<g(x)\) 的整数解为 \(-1,0\)
\(\therefore g(0)>f(0),g(1)\le f(1)\)
解得 \(a\in [\dfrac{3}{4e},\dfrac23)\)
放缩
放缩多以不等式的形式存在。
-
指数放缩：
\(e^x\ge x+1,x=0\) 时等号成立（切线不等式）
\(e^x\ge ex,x=1\) 时等号成立
\(e^x\le \dfrac{1}{1-x},x=0\) 时等号成立
\(e^x\ge\frac{1}{2}x^2+x+1(x\ge0),x=0\) 时等号成立
\(e^x\le\frac{1}{2}x^2+x+1(x\le0),x=0\) 时等号成立
\(e^x\ge\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{2}x^2+x+1,x=0\) 时等号成立
-
对数放缩
\(\ln x\le x-1,x=1\) 时等号成立（切线不等式）
\(\ln x\ge 1-\dfrac{1}{x},x=1\) 时等号成立
\(x\ln x\ge x-1,x=1\) 时等号成立
\(\ln x\ge \dfrac{1}{2}(x-\dfrac{1}{x})(0<x\le1),x=1\) 时等号成立
\(\ln x\le \dfrac{1}{2}(x-\dfrac{1}{x})(x\ge1),x=1\) 时等号成立
\(\ln x\ge \sqrt x-\dfrac{1}{\sqrt x}(0<x\le1),x=1\) 时等号成立
\(\ln x\le \sqrt x-\dfrac{1}{\sqrt x}(x\ge1),x=1\) 时等号成立
\(\ln x\le \dfrac{2(x-1)}{x+1}(0<x\le1),x=1\) 时等号成立
\(\ln x\ge \dfrac{2(x-1)}{x+1}(x\ge1),x=1\) 时等号成立
\(\ln x\le x^2-x,x=1\) 时等号成立
-
指对混合放缩
\(e^x-\ln x>(x+1)-(x-1)>2\)，等号不同时成立，不取等。
-
三角函数放缩
\(\sin x\le x\le\tan x(x\in[0,\dfrac{\pi}{2})),x=0\) 时等号成立
\(\sin x\ge x\ge\tan x(x\in(-\dfrac{\pi}{2},0]),x=0\) 时等号成立
\(\sin x\ge x-\dfrac{1}{2}x^2,x=0\) 时等号成立
\(\cos x\ge 1-\dfrac{1}{2}x^2,x=0\) 时等号成立
\(\sin x\ge x-\dfrac{1}{6}x^3(x\ge0),x=0\) 时等号成立
\(\sin x\le x-\dfrac{1}{6}x^3(x\le0),x=0\) 时等号成立
\(\cos x\le1-\dfrac{1}{2}\sin^2x,x=2k\pi\) 时等号成立
例 5
已知 \(f(x)=e^x-\ln(x+m)\)，当 \(m\le2\) 时，求证 \(f(x)>0\)。
证明：
由上述指对混合放缩可得：
\(f(x)=e^x-\ln(x+m)>(x+1)-(x+m-1)=2-m\)
\(\because m\le2\)
\(\therefore 2-m\ge0\)
\(\therefore f(x)>2-m\ge0\)
\(Q.E.D.\)
二次求导
当一阶导数的正负不好判断时，可以通过二阶导数的正负判断一阶导数的单调性，从而确定一阶导数的正负。
一个结论：
这里的 minimum 和 maximum 分别指极小值和极大值。
例 6
已知 \(f(x)=x\ln x-ax^2+(2a-1)x\)，若 \(x=1\) 是 \(f(x)\) 的极大值点，求 \(a\) 的取值范围。
解：
\(\begin{array}{l} f'(x)&=\ln x+1-2ax+2a-1\\ &=\ln x-2a(x-1)\\ f''(x)&=\dfrac{1}{x}-2a \end{array}\)
\(\because x=1\) 是极大值点
\(\therefore f'(1)=0,f''(1)<0\)
\(\therefore\dfrac11-2a<0,a>\dfrac12\)
故 \(a\in(\dfrac12,+\infty)\)
构造
例 7-1
定义域为 \(R\) 的函数 \(f(x)\) 满足 \(xf'(x)+f(x)>0\)，且 \(f(1)=2\)，求 \(f(e^x)>\dfrac{2}{e^x}\) 的解集。
解：
令 \(p(x)=xf(x)\)
\(p'(x)=xf'(x)+f(x)>0\)
\(p(x)\) 在 \(R\) 上单调递增
\(f(e^x)>\dfrac{2}{e^x}\)
即 \(p(e^x)>2\)
由题 \(p(1)=1\times f(1)=2\)
则 \(p(e^x)>p(1)\)
\(e^x>1,x>0\)
故 \(x\in(0,+\infty)\)
例 7-2
（多选）已知 \(f(x)\) 的导函数为 \(f'(x)\)，若 \(f(x)<xf'(x)<2f(x)-x\) 在 \((0,+\infty)\) 上恒成立，则下列选项中正确的有
\(A.\pi f(1)<f(\pi)\)
\(B.\pi f(1)>f(\pi)\)
\(C.f(1)<\dfrac{f(2)}4+\dfrac12\)
\(D.f(1)>\dfrac{f(2)}4+\dfrac12\)
解：
先看 \(A,B\) 选项
\(\because xf'(x)>f(x)\)
\(\therefore xf'(x)-f(x)>0\)
令 \(p(x)=\dfrac{f(x)}{x}(x\in(0,+\infty))\)
\(p'(x)=\dfrac{xf'(x)-f(x)}{x^2}>0\)
\(\therefore p(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 上单调递增
\(\therefore p(\pi)>p(1)\)
\(\therefore \dfrac{f(\pi)}{\pi}>\dfrac{f(1)}{1}\)
\(\therefore \pi f(1)<f(\pi)\)
再看 \(C,D\) 选项
\(\because x>0\)
\(\therefore xf'(x)<2f(x)\)
\(\therefore xf'(x)-2f(x)<0\)
\(\therefore x^2f'(x)-2xf(x)<0\)
令 \(q(x)=\dfrac{f(x)}{x^2}(x\in(0,+\infty))\)
\(q'(x)=\dfrac{x^2f'(x)-2xf(x)}{x^4}<0\)
\(\because xf'(x)<2f(x)-x\)
\(\therefore x^2f'(x)-2xf(x)+x^2<0\)
令 \(o'(x)=\dfrac{x^2f'(x)-2xf(x)+x^2}{x^4}\)
\(\therefore o'(x)=q'(x)+\dfrac{1}{x^2}<0\)
\(\therefore o(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 上单调递减
\(\therefore o(x)=q(x)-\dfrac1x\)
\(\therefore o(2)<o(1)\)
\(\therefore \dfrac{f(2)}4-\dfrac12<\dfrac{f(1)}1-1\)
\(\therefore f(1)>\dfrac{f(2)}4+\dfrac12\)
故选 \(A,D\)
技巧：
- 加法构乘减法构除
- 熟悉各种函数及其导数的样子，注意约分
同构
能看出来就很简单。看不出来就很麻烦。
例 8
已知 \(f(x)=(a-1)\ln x+x^ae^x(a<0)\)，若 \(\forall x>1,f(x)\ge0\)，求 \(a\) 的取值范围。
\(\begin{array}{ll} \because &f(x)\ge0\\ \therefore &(a-1)\ln x+x^ae^x\ge0\\ \therefore &x^ae^x\ge(1- a)\ln x\\ \therefore &xe^x\ge\dfrac{(1-a)\ln x}{x^{a-1}}\\ \therefore &xe^x\ge x^{1-a}\ln x^{1-a}\\ \end{array}\)
令 \(g(x)=xe^x\)
\(\therefore g(x)\ge g(\ln x^{1-a})\)
\(\because a<0\;\therefore 1-a>1\)
\(\therefore x>1\) 时，\(x^{1-a}>1\)
\(g'(x)=(x+1)e^x\)
\(x>1\) 时，\(g'(x)>0,g(x)\) 单调递增
\(\therefore x\ge\ln x^{(1-a)}\)
\(\therefore 1-a\le\dfrac{x}{ln x}\)
令 \(h(x)=\dfrac{x}{ln x}(x>1)\)
\(h'(x)=\dfrac{\ln x-1}{\ln^2 x}\)
\(h'(x)=0,x=e,h(x)_{\min}=h(e)=e\)
\(\therefore 1-a\le e\)
\(\therefore a\ge 1-e\)
故 \(a\in[1-e,+\infty)\)
隐零点
存在零点，但不完全存在。
例 9
已知 \(f(x)=e^x-\ln(x+m)\)，当 \(m\le2\) 时，求证 \(f(x)>\dfrac16\)。
证明：
当 \(m=2\) 时
\(f(x)=e^x-\ln(x+2)\)
\(f'(x)=e^x-\dfrac1{x+2}\)
令 \(f'(x_0)=0\)
\(\therefore e^{x_0}=\dfrac1{x_0+2},x_0=-\ln(x_0+2)\)
\(\begin{array}{ll} \therefore f(x)_{\min} &=f(x_0)\\ &=e^{x_0}-\ln(x_0+2)\\ &=\dfrac1{x_0+2}+x_0 \end{array}\)
\(\because f'(-\dfrac12)=\dfrac{1}{\sqrt e}-\dfrac23<0,f'(0)=1-\dfrac12>0\)
\(\therefore x_0\in(-\dfrac12,0)\)
令 \(g(x)=\dfrac1{x+2}+x\)
显然 \(g(x)\) 在 \((-\dfrac12,0)\) 上单调递增
\(\therefore f(x_0)=g(x_0)>g(-\dfrac12)=\dfrac16\)
\(\because m\le2\)
\(\therefore e^x-\ln(x+m)\ge e^x-\ln(x+2)>\dfrac16\)
\(Q.E.D.\)
极值点偏移
例 10
已知 \(f(x)=x-a\ln x\)，若 \(f(x_1)=f(x_2)=k\)，求证 \(x_1+x_2>2a\)。
证明：
\(f'(x)=1-\dfrac{a}{x}\)
显然 \(a\le0\) 时不符合题意
当 \(a>0\) 时
\(f(x)\) 在 \((a,+\infty)\) 上单调递增
不妨设 \(0<x_1<a<x_2\)
要证 \(x_1+x_2>2a\)
即证 \(x_2>2a-x_1\)
\(\because x_1<a\)
\(\therefore 2a-x_1>a\)
即证 \(f(x_2)>f(2a-x_1)\)
即证 \(f(x_1)>f(2a-x_1)\)
令 \(g(x)=f(x)-f(2a-x)(x\in(0,a))\)
\(g(x)=x-a\ln x-(2a-x)x+a\ln(2a-x)\)
\(\begin{array}{ll} g'(x)&=1-\dfrac{a}{x}+1+\dfrac{a}{2a-x}\\\\ &=\dfrac{2x(2a-x)-a(2a-x)+ax}{x(2a-x)}\\\\ &=\dfrac{-2x^2+4ax-2a^2}{x(2a-x)}\\\\ &=\dfrac{-2(x-a)^2}{x(2a-x)}\\\\ \end{array}\)
显然，\(x\in(0,a),g'(x)<0,g(x)\) 单调递减
\(\therefore g(x)>g(a)=f(a)-f(2a-a)=0\)
\(f(x_1)-f(2a-x_1)>0\)
\(x_1+x_2>2a\)
\(Q.E.D.\)
导数黑科技
洛必达法则
使用条件：
- \(\dfrac{0}{0}\) 型或 \(\dfrac{\infty}{\infty}\) 型；
- \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在 \(x_0\) 的去心邻域内可导；
- \(\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\)。
例 11
设函数 \(f(x)=ax^2\ln x+b(x-1)\)，曲线 \(y=f(x)\) 过点 \((e,e^2-e+1)\)，且在点 \((1,0)\) 处的切线方程为 \(y=0\)
(1) 求 \(a,b\) 的值；
(2) 试证明当 \(x\ge1\) 时，\(f(x)\ge(x-1)^2\) 恒成立；
(3) 当 \(x\ge1\) 时，\(f(x)\ge m(x-1)^2\) 恒成立，求 \(m\) 的取值范围。
(1) \(a=1,b=-1\)，过程略；
(2) 略
(3) 解：当 \(x=1\) 时，略；
当 \(x>1\) 时，即 \(x^2\ln x+(x-1)\ge m(x-1)^2\)。
分参得：\(m\le \dfrac{x^2\ln x-(x-1)}{(x-1)^2}\)
令 \(g(x)=(x-1)^2\)。
（以下内容出现在草稿纸上）
\(x\to 1^+,f(x)\to 0,g(x)\to 0\)
根据洛必达法则：\(\displaystyle\lim_{x\to 1^+}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to 1^+}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to 1^+}\dfrac{2x\ln x+x-1}{2(x-1)}\)
同样，\(x\to 1^+,f'(x)\to 0,g'(x)\to 0\)，
再由洛必达法则：\(\displaystyle\lim_{x\to 1^+}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to 1^+}\dfrac{f''(x)}{g''(x)}=\lim_{x\to 1^+}\dfrac{2\ln x+3}{2}=\dfrac{3}{2}\)
（以下内容出现在答案页上）
即 \(m\le \dfrac{f(x)}{g(x)}\) 恒成立，即 \(mg(x)-f(x)\le 0\) 恒成立。
令 \(\varphi(x)=mg(x)-f(x)\)，即 \(\varphi(x)\le 0\) 恒成立。
显然 \(\varphi(1)=mg(1)-f(1)=0\)，且 \(\varphi'(1)=mg'(1)-f'(1)=0\)。
\(\varphi''(x)=mg''(x)-f''(x)=2m-2\ln x-3\)。
当 \(m\le \dfrac{3}{2}\) 时
得 \(\varphi''(x)\le \varphi''(1)\le 0\)，则在 \((1,+\infty)\) 上 \(\varphi'(x)\) 单调递减。
则 \(\varphi'(x)\le \varphi'(1)=0\)，则在 \((1,+\infty)\) 上 \(\varphi(x)\) 单调递减。
\(\varphi(x)\le \varphi(1)=0\)，故 \(\varphi(x)\le 0\) 恒成立。
当 \(m>\dfrac{3}{2}\) 时
有 \(\exists x_1\in(1,+\infty),\forall x\in(1,x_1),\varphi''(x)>0\)
则 \(\exists x_2\in(1,+\infty),\forall x\in(1,x_2),\varphi'(x)>\varphi'(1)=0\)
故 \(\exists x_3\in(1,+\infty),\forall x\in(1,x_3),\varphi(x)>\varphi(1)=0\)，不成立。
综上，\(m\) 的取值范围为 \(m\in(-\infty,\dfrac{3}{2}]\)。
泰勒展开和麦克劳林公式
泰勒展开是通过一个多项式来拟合三角函数、指数函数、对数函数等不好求值的函数。
\(g(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dfrac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)\)
麦克劳林公式即泰勒展开在 \(x_0=0\) 时的特殊情况。
\(g(x)=f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2!}x^2+\dfrac{f'''(0)}{3!}x^3+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n)\)
常用：
\(e^x=1+x+\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{6}+\cdots\)
\(\ln(x+1)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\cdots\)
\(\sin x=x-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^5}{120}-\cdots\)
\(\cos x=1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}-\cdots\)
\(\tan x=x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2x^5}{15}-\cdots\)
应用：泰勒放缩不等式
丢掉的项中第一项的正负决定整个不等式是大于还是小于。
如:
\(e^x\ge 1+x+\dfrac{x^2}{2}(x\ge0)\)
\(e^x\le 1+x+\dfrac{x^2}{2}(x\le0)\)
例 12
设 \(a=2\ln 1.01,b=\ln 1.02,c=\sqrt{1.04}-1\)，比较 \(a,b,c\) 的大小关系。
(A) \(a<b<c\)
(B) \(b<c<a\)
(C) \(b<a<c\)
(D) \(c<a<b\)
解：
\(a\approx 2(0.01-\dfrac12\times0.0001+\dfrac13\times 0.000001)=0.01990067\)
\(b\approx 0.02-\dfrac12\times 0.0004-\dfrac13\times0.000008=0.01979733\)
\(c\approx 1+\dfrac12\times 0.04-\dfrac18\times0.0016+\dfrac{1}{16}\times 0.000064-1=0.019804\)
故选 B。
