SP15577 STC10 - Blockade 题解

写在前面

这几天一直在做 \(Tarjan\) 算法，也恰好遇上这一个题目，那就做一做吧，看了一些题解也不多，就交一下

题面大意

和3469雷同了，这里也还是说一下吧，给定一张无向图，求每个点被封锁之后有多少个有序点对 \((x,y)\ (x\not =y,1<=x,y<=n)\) 满足 \(x\) 无法到达\(y\) ,

思路

然后手动模拟一下敲点，把节点 \(1\) 敲掉，我们就可以发现 \((1,2),(2,1)……(1,5)(5,1)\) 这8个有序数对是无法相互到达的，所以我们可以得出一个结论，当节点 \(x\) 不是一个割点的时候，我们删去它，它贡献的有序点对数为 \(2\times(n - 1)\) ,\(n-1\)就是除了自己，都不能到达了，但是这是一个有序数对，无向图，所以要 \(\times 2\)

当我们敲掉节点 \(3\) 的时候，我们也尝试用上面的，首先就是到达节点 \(3\) 的有序数对都不能到达了，那么就是 \(2\times (5 - 1)\) 了，但是我们发现，由于节点 \(3\) 是一个割点，我们把它删除以后，$(1,4) , (4,1)……(2 , 5) (5,2) $,都不能到达了，式子化简出来就是这么式子

\[\sum_{i =1}^{top} \sum_{j=1}^{back}1 \]

什么意思，就是\(top\)删去节点\(3\)之后，上面的总共几个节点,对应着上面的\(1,2\)，\(back\)就是下面几个节点,对应着上面的\(4,5\)，然后这个式子因为里面是\(1\)的总和，所以，我们就可以提出来，也就是

\[top \times back \]

\(top,back\)还是上面的意思。

综上，我们就找出来了这几个点的情况，

当它是割点的时候，贡献是它的子树的大小的乘积

当它不是割点的时候，贡献是 \((n-1)\times 2\)

其实这个题还可以加强一下，是图不连通的情况，那么不是割点的节点的贡献就变成 \((len_i - 1)\times 2\) ,其中 \(len_i\) 表示的是节点 \(i\) 所处的连通块的大小。

\(\text{code}\)

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <set>
#include <stack>
#define int long long 
using namespace std ;
const int kmaxn = 5e6 + 10 ; 
inline int read()
{
	int x = 0 , f = 1 ; char ch = getchar() ; 
	while(!isdigit(ch)) { if(ch == '-') f = - 1 ; ch = getchar() ; }
	while( isdigit(ch)) { x = x * 10 + ch - '0' ; ch = getchar() ; }
	return x * f ;
}
struct node 
{
	int nxt , v , u , val ;
}e[kmaxn << 1] ; 
int tot , h[kmaxn << 1] ; 
void add(int u , int v )
{
	e[++tot].nxt = h[u] ; 
	e[tot].u = u ; 
	e[tot].v = v ;
	h[u] = tot ;
}
int sum ,  cnt , n , m ;
int dfn[kmaxn << 1] , low[kmaxn] , cut[kmaxn] , size[kmaxn] , ans[kmaxn] ; 
void tarjan(int u, int fa) 
{
    low[u] = dfn[u] = ++cnt;
    int child = 0 ;
    int sum = 0 ;  
    size[u] = 1 ;
    for (int i = h[u]; i; i = e[i].nxt) 
	{
        int v = e[i].v;
        if (!dfn[v]) 
		{
            tarjan(v, u) ;
            size[u] += size[v] ; 
			low[u] = min(low[u], low[v]);
            if(low[v] >= dfn[u] ) 
			{
				cut[u] = 1;
				sum += size[v]; 
				ans[u] += size[v] * ( n - size[v] ) ; 
				if(child >= 2 ||  u != fa) cut[u] = 1;
			}
            if(u == fa) child ++;
        } 
        else low[u] = min(low[u], dfn[v]);
    }
 	if(!cut[u]) ans[u] = (n - 1) * 2 ;//该点是割点 
 	else ans[u] += (n - sum - 1) * (sum + 1) + (n - 1 ) ;
}
signed main()
{
	n = read() , m = read() ; 
	for(int i = 1 ; i <= m ; i++)
	{
		int u = read() , v = read() ; 
		add( u , v ) ; 
		add( v , u ) ; 
	}
	for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
	{
		if(!dfn[i]) 
		{
			tarjan(i , i) ; 
		}
	}
	for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
	{
		printf("%lld\n" , ans[i]);
	}
	return 0 ;
}