差分约束学习笔记

差分约束系统学习笔记（附洛谷 P5960 模板题解）

差分约束是图论中一个非常巧妙的应用，它将求解不等式组的问题转化为求解单源最短路（或最长路）的问题，而 SPFA 算法中的负环检测则对应了不等式组无解的情况。

1. 什么是差分约束？

差分约束系统 是由若干个形如 \(x_i - x_j \le c_k\) 的不等式组成的系统，其中每个不等式的形式都是两个变量的差小于等于一个常数。

求解差分约束系统，就是找一组实数 \(\{x_1, x_2, ..., x_n\}\)，使得所有不等式同时成立。

2. 核心思想：不等式转图论

对于不等式：

\(x_i - x_j \le c\)

我们将其移项，得到：

\(x_i \le x_j + c\)

这和图论中最短路的松弛条件：

\(dist[i] \le dist[j] + w(j, i)\)

在形式上完全一致。

因此，我们可以建立如下映射：

差分约束	图论
变量 \(x_i\)	节点 \(i\)
不等式 \(x_i - x_j \le c\)	有向边 \(j \to i\)，边权为 \(c\)
求解一组可行解	求单源最短路（\(dist\) 数组即为答案）
不等式组无解	图中存在负环

3. 代码实现详解（基于 P5960 模板）

3.1 题目背景

洛谷 P5960 【模板】差分约束 是差分约束的模板题，题目给定 \(n\) 个变量和 \(m\) 个形如 \(x_c - x_{c1} \le y\) 的不等式，要求输出任意一组可行解。

3.2 完整代码

#include<bits/stdc++.h>
#define pb push_back
using namespace std;

const int N = 5e3+10;

struct edge {int to,w;};

int n,m;
int c,c1,y;
int dis[N],vis[N],cnt[N];

vector<edge> e[N];

bool spfa(){
	memset(dis,0x3f,sizeof dis);
	dis[0]=0,vis[0]=1;
	queue<int> q; q.push(0);
	while(!q.empty()){
		int u=q.front();
		q.pop();
		vis[u]=0;
		for(auto i : e[u]){
			int v=i.to;
			if(dis[v]>dis[u]+i.w){
				dis[v]=dis[u]+i.w;
				if(!vis[v]){
					vis[v]=1;
					cnt[v]=cnt[u]+1;
					if(cnt[v]==n+1) return false;
					q.push(v);
				}
			}
		}
	}
	return true;
}

int main(){
	cin.tie(0)->sync_with_stdio(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		cin>>c>>c1>>y;
		e[c1].pb({c,y});
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		e[0].pb({i,0});
	}
	if(!spfa()) cout<<"NO\n";
	else {
		for(int i=1;i<=n;i++) cout<<dis[i]<<" ";
	}
	return 0;
}

3.3 关键代码解释

(1) 为什么超级源点的边权是 0？

• 边 \(0 \to i\) 权值为 \(0\)，对应约束 \(x_i - x_0 \le 0\)。
• 令 \(x_0 = 0\)，则等价于 \(x_i \le 0\)。
• 这相当于给出了变量的一组初始上界，保证了图是连通的，所有节点都能从源点到达。
• 超级源点的加入不会影响不等式的可解性，只会让解集中所有变量都有上界 \(0\)。

(2) 负环检测的逻辑

• 在 SPFA 中，\(cnt[v]\) 表示节点 \(v\) 入队的次数。
• 根据 SPFA 的性质，如果不存在负环，每个节点最多入队 \(n\) 次。
• 如果 \(cnt[v] > n\)（即代码中的 \(cnt[v] = n + 1\)），说明存在负环，不等式组无解。

(3) 为什么用 \(cnt[v] = cnt[u] + 1\)？

• 这是基于路径长度的计数方式。
• \(cnt[v]\) 表示从源点到 \(v\) 的最短路径经过的边数。
• 如果最短路径经过了 \(n+1\) 条边，说明路径上必然有重复节点，即存在负环。
• 这种写法比单纯记录入队次数更优雅，也更贴合 SPFA 的"最多松弛 \(n-1\) 轮"的理论。

4. 算法要点与负环判断

4.1 最短路转化最长路

• 如果题目约束是 \(x_i - x_j \le c\)，求最大值或任意解 \(\to\) 跑最短路（检测负环）。
• 如果题目约束是 \(x_i - x_j \ge c\)，求最小值 \(\to\) 跑最长路（检测正环）。

4.2 如何处理 \(\ge\) 约束？

两种方法：

1. 转化为 \(\le\) 形式：

   \[x_i - x_j \ge c \iff x_j - x_i \le -c \]

   然后建边 \(i \to j\)，边权为 \(-c\)。

2. 直接跑最长路：

   • 建边 \(j \to i\)，边权为 \(c\)。
   • 松弛条件改为 if (dis[v] < dis[u] + w)。
   • 检测正环（如果某节点入队 \(n+1\) 次，存在正环，无解）。

4.3 严格不等式 \(<\)

如果变量是整数，\(x_i - x_j < c\) 等价于 \(x_i - x_j \le c - 1\)。如果变量是实数，差分约束无法处理严格不等式。

4.4 等式 \(=\)

拆成两个不等式：

\[x_i - x_j = c \iff x_i - x_j \le c \quad \text{且} \quad x_j - x_i \le -c \]

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5. 常见变形与应用场景

应用场景	核心建模技巧
区间选点问题（如种树、区间选最少点）	定义前缀和 \(S[i]\)，用区间 \([l, r]\) 和 \(c\) 构造 \(S[r] - S[l-1] \ge c\)
判断账本是否矛盾（如狡猾的商人）	前缀和建图，判断是否存在负环
变量有上下界	超级源点边权对应上界，节点到源点边权对应下界
乘积约束（如倍杀测量者）	取对数转化为线性差分约束

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6. 总结与练习

6.1 解题流程

1. 识别变量，列出所有不等式（包括隐含条件）
2. 确定求最大值（最短路）还是最小值（最长路）
3. 建图：不等式 -> 有向边
4. 添加超级源点（通常边权为 0）
5. 运行 SPFA，检测负环（或正环）
6. 有环 -> 无解；无环 -> dis 数组即为可行解

6.2 习题

阶段	题目	说明
1	P5960 【模板】差分约束	纯模板，熟悉建图和 SPFA
2	P1993 小K的农场	同时包含 \(\le\) 和 \(\ge\)，判断无解
3	P3275 [SCOI2011] 糖果	求最小值 \(\to\) 最长路，经典题
4	P1250 种树	前缀和建模，区间选点问题
5	P2294 [HNOI2005] 狡猾的商人	前缀和判断矛盾
6	P4926 [1007] 倍杀测量者	对数转换 + 二分答案