代数

2010 西部 P4 (3.7)

设非负实数 \(a_1,...a_n,b_1,...,b_n\)，有
\(\sum (a_i+b_i)=1,\sum i(a_i-b_i)=0,\sum i^2(a_i+b_i)=10\)
求证： \(\forall 1\leq k\leq n,\max(a_k,b_k) \leq \frac{10}{10+k^2}\)

由对称性只需证 \(a_k \leq \frac{10}{10+k^2}\)。
对上式配凑得 \((10-k^2a_k)(1-a_k) \geq k^2a_k^2\)，看到这个结构就不难想到放缩一下用柯西证了。

证：
一方面，由 Cauthy 不等式得

\[(\sum i^2b_i)(\sum b_i) \geq (\sum ib_i)^2=(\sum ia_i)^2\geq (ka_k)^2 \]

另一方面，

\[(\sum i^2b_i)(\sum b_i)=(10-\sum i^2a_i)(1-\sum a_i) \leq (10-k^2a_k)(1-a_k) \]

\[\therefore (10-k^2a_k)(1-a_k) \geq (ka_k)^2 \]

即 $$a_k \leq \frac{10}{10+k^2}$$
同理有 \(b_k \leq \frac{10}{10+k^2}\)，QED.

2007 东南 P8（2.2）

设正实数 \(a,b,c\) 满足 \(abc=1\)，\(k\) 是整数
求证：\(\forall k \geq 2,\) 有

\[\frac{a^k}{a+b}+\frac{b^k}{b+c}+\frac{c^k}{c+a} \geq \frac{3}{2} \]

证：
由基本不等式得 \(a+b+c \geq 3 \sqrt[3]{abc}=3\)

根据 Hölder 不等式，有：

\[(\sum_{\text{cyc}}(\frac{a^k}{a+b}))(\sum_{\text{cyc}}(a+b))(\sum_{\text{cyc}}1)^{k-2} \geq (\sum_{\text{cyc}}a)^k \]

\[\therefore (\sum_{\text{cyc}}\frac{a^k}{a+b})(2\sum_{\text{cyc}}a)\times 3^{k-2} \geq (\sum_{\text{cyc}}a)^k \]

\[\therefore \frac{a^k}{a+b}+\frac{b^k}{b+c}+\frac{c^k}{c+a} \geq \frac{(a+b+c)^{k-1}}{2\cdot 3^{k-2}}\geq \frac{3^{k-1}}{2\cdot 3^{k-2}}=\frac{3}{2} \]

QED.