数论基础篇

数论

一、整除

​ \(b=k\times a(k\in \mathbb Z)\Leftrightarrow a|b\Leftrightarrow\) \(\color{red} a 是 b 的因子\)。

1. 性质： \(a|b\) 且 $a|c\Leftrightarrow $ \(a|(ma+nb),m,n\in \mathbb Z\)

2. 猜结论，从 “因子” 的角度证明。

二、同余

​ \(a\equiv b\mod m\Leftrightarrow \color{red} m|(a-b)\)

1. 性质

   (1) 加减： \(a\equiv x,b\equiv y\Rightarrow a\pm b\equiv x\pm y\)

   (2) 乘：

   \[\qquad\begin{cases}a\equiv x,b\equiv y\Rightarrow ab\equiv xy\\a\equiv b \Rightarrow a^k\equiv b^k\end{cases} \]

   (3) 除：

   \[\qquad\begin{cases}ac\equiv bc \mod m~且~m\perp c\Rightarrow a\equiv b \mod \\a\equiv b \mod m~且~d~|~a,b,m \Rightarrow \frac{a}{d}\equiv \frac{b}{d} \mod \frac{m}{d} \end{cases} \]

   (4) 因数： \(a\equiv b\mod m\Rightarrow a\equiv b \mod n,n|m\)

   (5) 倍数： \(a\equiv b \mod m,n\Rightarrow a\equiv b\mod [m,n]\)

   (6) 结合律：

   ​ \(\color{red}(a\pm b)\% m = (a\%m\pm b\%m) \%m\)

   $\color{red}(a\times b)\%m = (a\% m\times b\%m)\%m$
   

   (7) \(\color{red}\large乘法逆元\) ：

   ​ 当 \(\color{red}a\perp m\) 时，记模 \(m\) 意义下 \(inv_i\) 为满足： \(i\times inv_i\equiv 1\mod m\) 的整数。

   ​ 求法：

   ​ <1>蒙哥马利：当 \(m\) 为质数时， \(inv_x=x^{m-2}\) 。

   ​ 证明：由费马大定理， \(m\) 为质数时 \(x^{m-1}\equiv 1\) ，则 \(x^{m-2}\equiv x^{-1}\) 。

   ​ <2>欧几里得求法

   ​ 设 \(x=inv_a\) ，那么要解 \(ax\equiv 1\mod m\) ，等效于解 \(ax+bm=1\) 。最后调整 \(x\) 到 \([1,m-1]\) 。

   ​ <3>线性推逆元

   ​ 设 \(\rm s=P/x,t=P%x\) ，则 \(\rm P=sx+t\equiv 0 \mod P\) ，移项得 \(\frac{1}{x}\equiv \frac{-s}{t}\)

   ​ <4>线性推阶乘逆元

   ​ 由于 \(i!~inv_{i!}\equiv 1\equiv (i+1)!~inv_{(i+1)!}\) ，则 \(inv_{i!}=(i+1)\times inv_{(i+1)!}\)

   由 整除 推性质。

2. *一些定义

   (1) 同余类：模 \(m\) 意义下 \(x\) 的同余类定义为：由所有在模 \(m\) 意义下等于 \(x\) 的数组成的集合。这样的集合共 \(m\) 个。

   (2) 完全剩余系：由模 \(m\) 的的 \(m\) 个同余类中分别取出一个数组成模 \(m\) 的一个完系。

   ​ 在完系中，任意两个数模 \(m\) 互不同余。

   (3) 缩剩余系：在完系中保留所有与 \(m\) 互质的数。

   ​ 缩系大小为 \(\phi(m)\) ，且缩系中任意两个元素 \(\times 或/\) 的结果仍然是某个缩系元素的同余类。

   性质：

   (1) 若 \(a_{1,2...m}\) 是模 \(m\) 下的一个完系，且 \(x\perp m\) ，那么 \(xa_i+b\) 也是完系。

   ​ 若 \(a_i\) 为一个缩系且 \(x\perp m\) ，那么 \(xa_i+b\) 也是缩系。

   (2) 若 \(a_i\) 为一个完系，则 $$\sum a_i\equiv \frac{m(m+1)}{2}\mod m$$

   (3) 若 \(a_i,b_i\) 均为缩系，则 $$\prod a_i\equiv \prod b_i \mod m$$

   这些东西和一些东西的证明有关，比如：欧拉定理、原根等等。不要求完全掌握。

三、素数

1. 算术基本定理：

   任意数可唯一拆解为 \(x=\prod p_i^{\alpha_i}\) ，其中 \(p_i\) 为质数， \(\alpha_i\in \mathbb N\) 。

   拓：

   (1) 约数个数：\(\prod(a_i+1)\)

   (2) 约数和： \(\prod (1+p_i^1+p_i^2+...p_i^{\alpha_i})=\prod \frac{p_i^{\alpha_i+1}-1}{p_i-1}\)

   (3) \((a,b)=\prod p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)},[a,b]=\prod p_i^{\max(\alpha_i,\beta_i)}\)

   ​ \((a,b)\times [a,b]=ab\)

2. 质数的判定

   定理：\(n\) 以内素数个数随 \(n\) 的增大逐渐逼近 \(\frac{n}{ln~n}\) 。

   (1) 朴素判定

   ​ 定理：如果 \(n\) 是合数，那么一定存在一个 \(\le \sqrt{n}\) 的质数是它的因子。

   ​ 枚举所有 \(\le \sqrt n\) 的数，判断其是不是 \(n\) 的因子即可。 \(\mathcal O(\sqrt n)\)

   (2) 埃氏筛

   ​ 对于每个素数，把它的所有倍数筛去。

   rep(i,1,n)if(!p[i])
   	for(int j=p[i]+p[i];j<=n;j+=p[i])
   		p[j]=1;
   

   ​ 定理： \(\sum_{p\le n}\frac{1}{p}=\log \log n\)
   所以埃氏筛复杂度为 \(\mathcal O(n\log \log n)\) 。

   ​ 埃氏筛的优势：能够比较准确地 运用某些数 来筛去 某个范围内的值 。

   ​ 经典例题：给定常数 \(K\) ，定义一个满足 \(x>1\) 且 \(\forall i \in [2,min(K,x-1),i\nmid x\) 的数 \(x\) 为类质数，求 \([L,R]\) 所有类质数的和。 \(\rm L,R\le 10^9,R-L\le 10^7\) 。于是我们先求出所有 \(\le K\) 的质数，再用这些数去筛掉 \([L,R]\) 中的数。

(3) 欧拉筛
注意到埃氏筛中很多数被多个素数筛掉，我们改进一下使得每个数只被其最小的质因子筛掉。这就是欧拉筛。

```
rep(i,1,n){
	if(!p[i])pr[++cnt]=i;
	rep(j,1,cnt){
		if(i*pr[j]>n)break;
		p[i*pr[j]]=1;
		if(i%pr[j]==0)break;
	}
}
```

​ 复杂度 \(\mathcal O(n)\)

​ (4) \(\rm Miller-Rabin\) 素数判定

​ <1> 前置：

​ 费马小定理： \(p\) 为质数时， \(\forall a,a^{p-1}\equiv 1\mod p\) 。

​ 费马素数检测： \(a^{p-1}\equiv 1\mod p\) 是 \(p\) 为素数的充分不必要条件。

​ 二次探测定理：当 \(p\) 为素数时， \(x^2\equiv 1\mod p\) 当且仅当 \(x=1或p-1\) 。那么我们可以记录 \(y=x^2\) ，如果 \(y=1\) 但是 \(x\ne1或p-1\) ，那么 \(p\) 就不是素数。

​ <2> 实现：

​ i. 直接判断 0,1,2 和偶数。

​ ii. 将 \(p-1\) 拆分成 \(2^k\times t\) 的形式，方便二次探测。

​ iii. 随机一个 \(\le p-1\) 的 \(a\) ，初始 \(x=a^t\%p\) ，不断二次探测，共进行 \(k\) 次。

​ iiii. 最后 \(x=a^{p-1}\) ，检测 \(x\) 是否与 \(1\) 同余。

​ iiiii. 返回 iii ，进行 \(10\) ~ \(20\) 次。

bool pd(int p){
	if(p<=1)return false;
	if(p==2)return true;
	if(!(p&1))return false;
	int k=0,t=p-1;
	while(!(t&1))t>>=1,++k;
	rep(i,1,10){
		int a=random(p-1);
		int x=kpow(a,t,p);
		rep(j,1,k){
			int y=x*x%p;
			if(y==1&&x!=1&&x!=p-1)return false;
			x=y;
		}
		if(x!=1)return false;
	}return true;
}

​ 虽然是个随机化算法，但是检测很多次后基本上能保证正确性。复杂度 \(\mathcal O(n^{\frac{1}{4}})\) 。

四、重要数论定理及算法

1. 欧几里得算法与扩展欧几里得算法

   (1) 欧几里得算法求 \(gcd\) ：

   ​ 若 \(d~|~a,d~|~b\) ，则 \(d~|~(ax+by)\) ，那么一定满足 \(d~|~(a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times b)\) ，那么 \(d~|~gcd(a,b)\) 。所以 \(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\) 。

   ​ \(a\to a\%b\) ，首先 \(a\ge b\) ，在值域上每 \(b\) 分段，那么无论 \(a\) 在哪一段，都满足 \(a\%b\le \frac{a}{2}\) 。所以每次递归中，大的那个数至少减半，复杂度 \(\mathcal O(\log(a+b))\) 。

   (2) 扩展欧几里得算法解丢番图方程：

   ​ <1> 丢番图方程：形如 \(a_1x_1+a_2x_2+...a_nx_n=c\) 的不定方程。这里只考虑 \(ax+by=c\) 。

   ​ <2> 裴蜀定理：丢番图方程有解的充要条件为 \(gcd(a_1,x_2...a_n)|c\) 。

   ​ <3> 扩展欧几里得算法：解 \(ax+by=(a,b)\) 得出一组整数解。

   ​ 由于 \(ax_1+by_1=(a,b)\) 且 \((a,b)=(b,a\%b)\) ，那么 \(ax_1+by_1=bx_2+a\%by_2\) 。

   ​ 又因为 \(bx_2+a\%by_2=bx_2+ay_2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times by_2=y_2a+(x_2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_2)b\) 。

   ​ 换主元，系数相同一定是一组解，那么 \(\begin{cases}x_1=y_2\\y_1=x_2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_2\end{cases}\) ，递归处理即可。

   ​ 边界为 \(b=0\) 时， \(x=1,y=0\) 。

   ​ 通解：\(\begin{cases}x=x_0+t\times \frac{b}{(a,b)}\\y=y_0-t\times \frac{a}{(a,b)}\end{cases},t\in \mathbb Z\) 。

   ​ \(ax+by=c\) 若 \(c\ne (a,b)\) ，相当于解 \(ax+by=k\times (a,b)\) 即 \(ax'+by'=(a,b),x=kx',y=ky'\) 。

2. 欧拉定理与费马小定理

   ​ (1) 欧拉函数 \(\varphi(n)\) ：\(\sum_{i=1}^{n-1}[gcd(i,n)==1]\) （小于 \(n\) 的数中与 \(n\) 互质的正整数的个数）

   ​ <1> 性质

   ​ i. 积性函数：若 \(a\perp b\) ，则 \(\phi(ab)=\phi(a)\times \phi(b)\) 。

   ​ ii. \(\sum_{d|n} \varphi(d)=n\)

   ​ iii. \(\varphi\times I=id\) （反演中用到）

   ​ <2> 求法

   ​ i. 通式法： \(\varphi(n)=n\prod_{p_i|n} (1-\frac{1}{p_i})\)

   ​ 证明：

   ​ 当 \(n\) 为质数时： \(\varphi(n)=n-1\) 。小于 \(n\) 的所有数都与 \(n\) 互质。

   ​ 当 \(n=p^k\) 时： \(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^k\times (1-\frac{1}{p})\) 。 \(n\) 以内只有 \(p\) 的倍数与 \(n\) 不互质，而 \(p\) 的倍数有 \(p,2p,3p...p^{k-1}\cdot p\) 共 \(p^{k-1}\) 个。

   ​ 当 \(n\) 一般时，将 \(n\) 唯一分解为 \(\prod_{p_i|n} p_i^{\alpha_i}\) 。由于 \(\varphi\) 为积性函数，则

   ​ $$\varphi(n)=\prod_{p_i|n} \varphi(p_i^{\alpha_i})=\prod_{p_i|n} p_i^{\alpha_i}\times (1-\frac{1}{p_i})=n\times \prod_{p_i|n} (1-\frac{1}{p_i})$$

   ​ 证毕。

   ​ ii. 欧拉筛

   ​ 当 \(x\) 为质数时， \(\varphi(x)=x-1\)

   ​ 当 \(x=i\times p_j\) 且 \(i\perp p_j\) 时，由积性函数， \(\varphi(x)=\varphi(i)\times \varphi(p_j)\) 。

   ​ 当 \(x=i\times p_j\) 且 \(i\%p_j\ne0\) 时， \(\varphi(x)=p_j\times \varphi(i)\) 。

   ​ 理解：由通式，在 \(i\) 基础上多乘一个 \(p_j\) 并不改变 \(\prod_{p_i|n}(1-\frac{1}{p_i})\) ，只是使 \(n=i\to i\times p_j\) 。

   ​ (2) 欧拉定理： \(\color{red}a\perp m\) 时， \(a^{\varphi(m)}\equiv 1\mod m\)

   ​ 证明：设 \(x_i,i\in[1,\varphi(m)]\) 是模 \(m\) 意义下的一个缩系，若 \(a\perp m\) ，那么 \(ax_i\) 也是一个缩系。（性质 (1) ）

   ​ 根据缩系的性质 (3) ， \(\prod x_i\equiv\prod ax_i \mod m\)

   ​ 又因为 \(\prod ax_i=a^{\varphi(m)}\prod x_i\) ，所以 \(a^{\varphi(m)}\equiv 1 \mod m\) 。

   ​ (3) 费马小定理：当 \(m\) 为质数时， \(a^{m-1} \equiv 1 \mod m\) 。欧拉定理是对其的一般化。

   ​ (4) *扩展欧拉定理：

   ​ $$a^{b\equiv\begin{cases}a},(a,m)=1\ a^b,(a,m)\ne 1,b<\varphi(m)\ a^{b%\varphi(m)+\varphi(m)},(a,m)\ne 1,b\ge\varphi(m) \end{cases} \equiv a^{min(b,b%\varphi(m)+\varphi(m))}$$

3. *威尔逊定理： \((p-1)!\equiv -1\mod p\Leftrightarrow p\) 为质数。

4. 中国剩余定理 \(\rm (CRT)\)

   ​ 求一个 \(x\) 满足 \(\begin{cases}x\equiv a_1\mod m_1\\x\equiv a_2\mod m_2\\\vdots \qquad\vdots\qquad\qquad\vdots\end{cases}\) 。其中 \(\color{red}m_i 互质\)。

   ​ 解：设 \(S=\prod m_i\) ， \(M_i=\frac{S}{m_i}\) ，\(y_i\) 为模 \(m\) 意义下 \(M_i\) 的逆元。

   ​ 那么 \(a_iM_iy_i\equiv \begin{cases}a_i\mod m_i（y_i为逆元）\\ 0\mod m_j,j\ne i（M_i含有m_i的因子）\end{cases}\)

   ​ 所以 \(x=\sum a_iM_iy_i\) 一定是一个解。通解为 \((\sum a_iM_iy_i)+kS\) 。

   *扩展中国剩余定理

5. \(\rm Lucas\) 定理

   \[\tbinom{n}{m}\%p=\tbinom{n/p}{m/p}\times \tbinom{n\%p}{m\%p}\%p \]