次小生成树

\(\rm 次小生成树\)

一开始只是兴起学一学，思路挺好理解的但是打代码不知道是想复杂了还是怎么的，反正很繁琐，调了一整天

一、定义
非严格次小生成树，即边权和大于等于最小生成树边权和的生成树；严格次小生成树，即边权和大于最小生成树边权和的生成树

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二、解法

首先，我们可以证明，次小生成树与最小生成树一定只有一条不同的边。

这是很显然的，因为我们如果选出两条边来替换最小生成树的边，一定是没有只替换一条边优。

那么，对于每一条非树边_(u,v)，如果我们把它加入生成树，就会形成一个环，我们要从环里删除一条边使仍然构成一棵树，那么要使生成的树边权和尽量小，我们就需要找到这个环里除了边_(u,v)外最大的一条边（Q:为什么除了边_(u,v)？A:因为这是我们要加进去的边），即原生成树上u到v的路径上边权最大的一条边。这我们可以通过倍增或者树剖实现。

具体而言，用每个点的点权存储其到其父亲的边的边权。但是这样有一个问题，就是说如果_u,v不在同一条链上，那么我们要求的其路径上的最大值就是路径_(u,v)上不包括_lca(u,v)的所有点的点权最大值。那么怎样实现不包括_lca呢？

对于倍增，我们只需要使最终求的比_lca深度大₁即可。

对于树剖，先求出_lca，在_x不断向_lca所在重链链上跳时，如果最终与_lca重合，那么所求即为前一步的重链的顶，否则是_lca所在重链的下一个点即在线段树上标号+1的数。

\(\rm 思路极其清晰\)