博弈论学习笔记
博弈论
好久以前不记得在那本初赛资料上看到第一章就是博弈论，看了一页纸，(那时候还不知道有多难，就只是感性地用数学去理解)，感觉不难，就没搞了。
考了好几次博弈论的题，发现毛都不会，又老听旁边 \(Mital\) 和 \(Skounputer\) 讲什么 \(SG\) 函数，心态爆炸，于是还是决定自己学一下。
蒟蒻决定先把几个经典的例子学会了，再去考虑有没有什么可以合并总结的吧。
参考：
https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/8460196.html
https://www.cnblogs.com/Mathics/p/3948482.html
https://www.luogu.org/blog/skounputer/bo-yi-lun-xiao-jie
https://www.luogu.org/blog/155767/shuo-lun-xiao-jie
一、巴什博弈
（当年我看的就是这个，贼简单，所以就没往后学了QAQ）
模型：给定一堆 \(n\) 个石头，两个人博弈，依次取 \([~1,m~]\) 个石头，若不能取了，则当前操作者输。问是否必胜？
模拟讨论：
\(\quad(1)\)如果当前有 \(1\) ~ \(m\) 个石子，那么显然先手一定能一次性全部取完，先手必胜。
\(\quad\)于是我们考虑什么时候起先手不一定必赢呢？
\(\quad(2)\)如果当前正好有 \(m+1\) 个石子，因为先手至少取一个但又不能完全取完，所以会留下 \(1\) ~ \(m\) 个石子给后手处理，后手显然是可以一次性取完的，所以先手必败。
\(\quad(3)\)如果我们再多几个石子 \((~\le m~)\) ，那么显然先手可以把石子数取到 \(m+1\) 的状态，即状态 \(2\) ，由于此时的先手，即整场的后手在状态 \(2\) 下必败，所以先手必胜。
结论：
\(\quad\)发现了吗？只要 \(n\) 不为 \(m+1\) 的倍数，那么每次先手只要把石子数取到 \(m+1\) 的倍数，就能使下一个操作者即后手必败，即自己必胜。
\(\quad\)这里，我们把 \(m+1\) 称为必败态。那么我们可以发现，对于一个当前状态，如果他已经是必败态了，那么当前操作者必输；如果下一步可以使状态转移到必败态，那么下一个操作者必败，则当前操作者必胜。
\(\quad\)要注意的是，无论是必败态还是必胜态，他都仅仅是一个状态，表示当前操作者胜负的状态，而与操作者是谁无关。
\(\quad\)很显然我们又可以发现，对于每一个石子个数即每一个状态，我们可以唯一的知道他是必胜态还是必败态，即他要么是必败态要么是必胜态，不会有不一定这一种状态。那么我们应该怎么得到它是什么状态呢？
\(\quad\)这里我们可以使用一棵树来表示对于当前的 \(n\) 的所有的操作。
\(\quad\)这是 \(n=3,m=2\) 的情况下的操作树。
\(\quad\)显然，我们发现有许多的状态使重复的，于是我们可以把树精简为一张有向无环图。如下：
\(\quad\)我们从 \(0\) 开始向上递归。
\(\quad\)因为 \(0\) 是必败态（先手已经没有可取的了，直接输），所以能够转换到他的状态 \(1,2\) 是必胜态（因为 \(1,2\) 的下一步可以直接转到必败态 \(0\) ，所以下一个操作者必败，即当前操作者必胜），而 \(3\) 也是必胜态，（他能转换到必败态 \(0\) ，因为所有操作者都非常聪明，所以先手一定会选择这一个方案，所以当前操作者必胜）。
\(\quad\)由上，我们又可以发现，如果一个状态可以转移到必败态，那么他一定是必胜态，无论他还可不可以转移到别的必胜态；如果一个状态所能转移到的状态全都是必胜态，即没有必败态，那么他一定是必败态。
综上，我们得到了只有一个操作空间（即只有一堆石头）时的做法。但是有的时候我们有很多个操作空间（即有很多堆石子），届时我们该怎么办呢？
二、Nim游戏
模型：有n堆石子，可以从任意一堆中拿若干个石子(不能不拿)，没法拿的人失败。问谁会胜利？
模拟讨论
\(\quad\)我们按照套路，从简单的情况入手。
\(\quad\)当只有一堆石子的时候，先手可以全部拿走，先手必胜，为必胜态。。
\(\quad\)当有两堆石子且石子个数相同的时候，先手不论拿多少，后手都可以从另一堆中拿同样多的石子，那么无论如何第一堆的最后一个是先手拿的，则下一状态为后手操作下的必胜态，先手必败，为必败态；否则（两堆石子数不同），那么先手可以把石子数取到两堆相同，下一状态则为后手操作下的必败态（两堆石子数相同），先手必胜。
\(\quad\)当有三堆的时候呢？
\(\quad\)当有n堆的时候呢？
\(\quad\)这样玩下去确实是很繁琐，不过前辈们总结出了一条非常厉害的规律！
定理：
当 \(n\) 堆石子的个数的异或和等于 \(0\) 的时候，先手必败，否则先手必胜。
为什么呢？
证明如下：
设每堆石头个数分别为 \(a_1,a_2...a_n\) ，异或符号为 \(\oplus\) 。
如果 \(a_1 \oplus a_2 \oplus ... \oplus a_n=0\) ，那么无论先手怎么取，后手只要取掉一部分石头来维持异或和为 \(0\) 。最后只剩一个堆有石头的时候，异或和不为零为这一堆的石子个数，那么此时就是后手的回合，他可以一波取完，所以异或和为 \(0\) 的状态为当前操作者的必败态。
我们设石头堆数量异或和为 \(S(~S!=0~)\) ，那么 \(a_1 \oplus a_2 \oplus ... \oplus a_n=S\) 。
设 \(S\) 的二进制最高位为第 \(k\) 位，那么一定存在至少一个 \(a_i\) 的第 \(k\) 位为 \(1\) ，否则异或和的最高为不可能为 \(1\) 。
所以我们把等式左右同时异或上 \(S\) ，则等式左边为 \(0\) ，所以当前状态为当前操作者即后手的必败态；
而这个异或的操作，由于 \(a_i\) 和 \(S\) 的最高位都是 \(1\) ，那么异或后最高位结果就是 \(0\) ,显然是比原数要小，所以我们可以视为第 \(i\) 个石头堆被取走了一些石头使他变成了 \(a_i \oplus S\) 个石头。
综上，如果所有石头堆的异或和为 \(0\) ，那么为先手的必败态；否则为先手的必胜态。
引申：nimk游戏
模型：n堆石子，每次从不超过k堆中取任意多个石子，最后不能取的人失败。
三、SG函数与SG定理
\(这个很重要！！！\)
SG函数
定义： \(SG(~x~)=mex(~v1,v2,...vm~)\)
其中 \(v\) 表示当前 \(x\) 可以转移到的状态的 \(SG\) 值， \(mex\) 表示在这个集合中没出现的最小自然数。
其中，如果 \(SG(~x~)==0\) ，表示他可以转移到必败态，即他的下一个状态可以是必败态，则状态 \(x\) 为必胜态。否则反之。
SG定理
内容：对于一个问题，如果存在很多个操作空间，其 \(SG\) 值分别为 \(SG_1,SG_2...SG_n\) 。
如果 \(SG_1 \oplus SG_2 \oplus ... \oplus SG_n==0\) ，则先手必输。
你一定会惊呼：这不就是 \(nim\) 游戏吗？
重看 \(num\) 游戏，你会发现其中每堆石子的 \(SG\) 值都恰好为这堆石子的数量，且每堆石子之间都是相互独立的。
所以\(nim\)游戏可以当作对 \(SG\) 定理的一个很好的证明。
SG的本质
看到这里，有些读者可能要问了：我们为什么要用 \(mex\) 来定义 \(SG\) 函数呢？对于 \(nim\) 游戏来说 \(SG\) 的值就是石子个数，那么其他的博弈问题呢？ \(SG\) 函数还有用吗？为什么呢？
首先解决第一个问题：为什么要用 \(mex\) 来定义 \(SG\) 函数呢？
由定义我们可知，只要有任意一种操作能使下一步为下一步操作者的必败态，那么这个状态即为当前操作者的必胜态，由于必败态为 \(0\) ，所以我们取 \(mex\) 的时候只要能够通往 \(0\) \(SG\)就一定是 \(0\)。
这里给出的 \(SG\) 的本质是 SG的本质应该是将n维Nim游戏映射到1维Nim游戏
讲的很玄乎，其实意思就是说把多个操作空间的博弈问题转化为一个。
再通俗的解释一下，就是说我们可以发现 \(SG\) 函数把每个操作空间转化为了一个一维的值，于是问题转化为了 \(n\) 个 \(SG\) 值得相关问题，这就是一个一维的问题了，然后异或起来就得出了最终结果。
综上，对于单个操作空间的博弈游戏，我们有三种处理方式：模拟找规律、神仙脑补以及操作图；对于多个操作空间的博弈游戏，我们使用 \(SG\) 函数把他转化为一维问题，通过异或来解决（一般情况下）（注：这个异或操作的 \(nb\) 一点的名字叫做 \(Bouton's~Theorem\) ）。
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