线性无关和线性相关

定义2.1.1 线性相关、线性无关

若齐次线性方程组  ，有非零解  ，则称  线性相关；

若齐次线性方程组  ，只有唯一解  ，则称  线性无关。（矩阵为可逆矩阵--非奇异矩阵）

特别地，  向量和任意向量线性相关。

定理2.1.1  线性相关  其中必有向量是其它向量的线性组合。

定理2.1.2  线性相关  其中某个向量是它前面的向量的线性组合。

推论2.1.1  线性无关  其中任何一个向量都不是它前面的向量的线性组合。

定理2.1.3 含有线性相关子集的向量组线性相关。

定理2.1.4 若  各行线性无关，则  各行也线性无关。

定理2.1.5 若向量的个数大于向量的维数，则这些向量一定线性相关。

推论2.1.2 n维向量空间  中的向量组成的线性无关向量组最多只能含有n个向量。换句话说，  中n+1个向量一定线性相关。

定理2.1.6 设  是  中任意n个线性无关的向量，则该空间中其他任何一个向量  都能写成这n个向量的线性组合，且这个组合是唯一确定的。

 

 可逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵。 如果A为奇异矩阵，则AX=0有无穷解，AX=b有无穷解或者无解。如果A为非奇异矩阵，则AX=0有且只有唯一零解，AX=b有唯一解。

 

 

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