若干结论和定理(持续更新)
\(gcd(x^a-1,x^b-1)=x^{gcd(a,b)}-1\) \((x>1,a,b>0)\) (HDU 2685)
\(gcd(fib[m],fib[n])=fib[gcd(m,n)]\)
\(lcm(ka,kb)=k*lcm(a,b)\)
\(a>b,gcd(a,b)=1,则gcd(a^m-b^m,a^n-b^n)=a^{gcd(m,n)}-b^{gcd(m,n)}\)
\(设G=gcd(C_n^1,C_n^2,...,C_n^n)则G的值为:\) (HDU 2582)
- n为素数：n
- n有多个素因子：1
- n只有一个素因子：该因子
\(\sum_{i=1}^ngcd(i,n)=\sum_{d|n}d*\varphi(n/d)\)
\(\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\)
\(\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\varphi(n)}{n}\)
\(n=\sum_{d|n}\varphi(d)\)
最小生成树中的最大边权为所有生成树中最大边权的最小值(所有生成树中最大边权的最小值在MST上)
有向无环图的生成树个数等于入度非零的节点的入度积
费马小定理：\(p\)为质数，整数\(a\)不是\(p\)的倍数，则\(a^{p-1}\equiv1(mod\) \(p)\)
威尔逊定理：\(p\)为质数，等价于\((p-1)!\equiv-1(mod\) \(p)\) 即 \(p|((p-1)!+1)，(p-2)!\equiv1(mod\) \(p)\) (HDU 6608) (此处为阶乘)
费马-欧拉定理：若\(n,a\)为互质正整数，则：\(a^{\varphi(n)}\equiv1(mod\) \(n)\)
霍尔定理： 判断二分图是否完美匹配的充要条件：首先要求|X|==|Y|（左右点数相等），对于任意的X的子集\(a\)都有\(|a|<=|b|\),其中\(b\)是\(a\)能达到的点集的并
霍尔定理推论：对于二分图\(G=\lbrace X+Y,E\rbrace\)，最大匹配\(M=|X| - max(|S| - |N(S)|)\) \((S\)为\(X\)的子集，\(N(S)\)为\(S\)所能到达的点集的并\()\) \((|S|\)可以为0，所以后者一定不小于0\()\) (HDU 6667)
如果 \(p\%4=3,x^2=a(mod\) \(p)\) 那么\(x=±pow(a, (p+1)/4, p)\)
\((a+b)^p\equiv a^p+b^p(mod\) \(p)\)
\(n^{\frac{p-1}{2}}\equiv\pm1(mod\) \(p)\)
若\(a*b-c*d=1\)，则\(a,b,c,d\)两两互质
斐波那契求和公式：\(S_n=2*a_n+a_{n-1}-1\)
小于\(n\)且与\(n\)互质的数之和\(S_n=n*\varphi(n)/2\)
对于质数\(p\)
- 若\(n\%p=0\)则\(\varphi(n*p)=\varphi(n)*p\)
- 若\(n\%p!=0\)则\(\varphi(n*p)=\varphi(n)*(p-1)\)
- \(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=(p-1)*p^{k-1}\)
欧拉降幂 (易证后两个包括第一个,所以只需要判断\(b\)和\(\varphi(p)\)的大小关系来套用第二个或者第三个)
若\(a\equiv1(mod\) \(p)\)，则\(a^{p^k}\equiv1(mod\) \(p^{k+1})\)
欧拉函数对于第\(i\)位的三元组\((\varphi(i) , \varphi(i + 1) , \varphi(i + 2) )\)是唯一的
若\(gcd(x,y,z)=G,lcm(x,y,z)=L\)，则\(gcd( x', y',z')=1,lcm(x',y',z')=L/G\)，其中\(x' = x /G，y' = y /G ，z' = z / G\) (HDU4497)
\(a,b\)互质的充要条件是存在整数\(x,y\)使得\(ax+by=1\)
\(\sigma(ij)=\sum_{a|i}\sum_{b|j}[gcd(a,b)=1]\frac{aj}{b}\) (\(\sigma是约数和函数\))
一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数
\(gcd(a,b) = gcd(a+b, lcm(a,b))\)
\(gcd(x,y,z)=gcd(x,y-x,z-y)\)
\(n\)个\(m\)边形最多可以把平面分成几部分，\(N(1)=2\)，递推公式：\(N(n)=N(n-1)+2*m(n-1)\)，对应答案为 \(m*(n*n-n)+2\)
\(d=gcd(n,m),则\phi(m*n)=\frac{d*\phi(m)*\phi(n)}{\phi(d)}\)
若\(n\&k=k\)则 \(C(n,k)\)为奇数，否则为偶数
一个森林内部节点的度数平方和等于 2 * (长度为 2 的路径数 + 长度为 3 的路径数)
\(\sum_{d|n}|\mu(d)|=2^{w(n)}\) （\(w(n)\) 为\(n\)不同素因子个数）
积性函数的卷积仍为积性函数
\(\sum_{i=1}^{n}\mu(i)^2=\sum_{d=1}^{\sqrt n}\mu(d)*\lfloor \frac{n}{d^2}\rfloor\)
若\(b|a\)，则\(\frac{a}{b}mod m=amod(mb)/b\)
\(a+b=(a \bigoplus b)+2*(a\&b)\)
勾股数
\(a=2n+1, b=2n^{2}+2n, c=2n^{2}+2n+1\)
\(a=2n+2, b=n^{2}+2n, c=n^{2}+2n+2\)
\(\sum_{i=0}^{n-1}\lfloor\sqrt{i}\rfloor=n\lfloor\sqrt{n}\rfloor-\frac{1}{3}\lfloor\sqrt{n}\rfloor^3-\frac{1}{2}\lfloor\sqrt{n}\rfloor^2-\frac{1}{6}\lfloor\sqrt{n}\rfloor\)
所有子集的异或和求和即为所有元素按位或和再左移\(n - 1\)位
